Teorema de Liouville (mecánica hamiltoniana)

Teorema de Liouville (mecánica hamiltoniana)
Para otros usos de este término, véase Teorema de Liouville.

El teorema de Liouville es un resultado de la mecánica hamiltoniana sobre la evolución temporal de un sistema mecánico. Un conjunto de partículas con condiciones iniciales cercanas pueden representarse por la región conexa que ocupa en el espacio de fases. El teorema establece que dicha región mantendrá invariante su volumen a pesar de que se estirará y se encogerá a medida que cada partícula evolucione.

Contenido

Introducción

Consideremos una región del espacio fásico que evoluciona con el tiempo al desplazarse sobre su trayectoria. Cada uno de sus puntos se transforma al cabo del tiempo en una región de forma diferente ubicada, además, en otra parte del espacio fásico. El teorema de Liouville afirma que a pesar de la traslación y el cambio de forma el "volumen" total de dicha región permanecerá invariante. Además debido a la continuidad de la evolución temporal si la región es conexa inicialmente seguirá siendo conexa todo el tiempo.

Casi todas las demostraciones usan el hecho de que la evolución temporal de una "nube" de puntos en el espacio fásico es de hecho una transformación canónica que cambiará la forma y posición de dicha nube, aunque mantendrá su volumen total.

Demostración directa

Una forma de ver probar que la evolución temporal es una transformación canónica, cosa relativamente sencilla, y a partir de ahí calcular directamente el determinante de dicho cambio de coordenadas, y probar que de hecho el determinante de dicha transformación es igual a 1, lo cual prueba la invariancia del volumen.

Demostración basada en la forma simpléctica

Otra forma de probar el teorema es tener en cuenta que la forma de volumen {\eta}_\Gamma\; del espacio fásico es el n-ésimo producto de la forma simpléctica, y que esta de acuerdo con el teorema de Darboux se expresa como producto de pares de variables canónicamente conjugadas:

{\eta}_\Gamma = \bigwedge_{i=1}^n \omega = \omega\land \dots \land \omega =
dp_1\land\dots \land dp_n\land dq_1 \land \dots \land dq_n =
dP_1\land\dots \land dP_n\land dQ_1 \land \dots \land dQ_n

De donde se sigue que el determinante de la transformación es igual a 1 y, por tanto:

\forall V\subset\Gamma: \quad
\int_V d^n\mathbf{q}d^n\mathbf{p} = \int_{\phi_\tau(V)} d^n\mathbf{Q}d^n\mathbf{P}

Esta última expresión es esencialmente el enunciado del teorema de Liouville.

Ecuación de Liouville

El teorema de Liouville puede reescribirse en términos del corchete de Poisson. Esta forma alternativa, conocida como ecuación de Liouville, viene dada por:

\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\{\,\rho,H\,\}

o en términos del operador de Liouville, también llamado "Liouvilliano":

\hat{\mathbf{L}}=\sum_{i=1}^{d}\left[\frac{\partial H}{\partial p_{i}}\frac{\partial}{\partial q^{i}}-\frac{\partial H}{\partial q^{i}}\frac{\partial }{\partial p_{i}}\right],

que lleva a la forma:

\frac{\partial \rho }{\partial t}+{\hat{\mathbf{L}}}\rho =0.

Mecánica cuántica

En mecánica cuántica existe un resultado análogo al teorema de Liouville que describe la evolución de un estado mezcla. De hecho, se puede llegar a la versión mecano-cuántica de este resultado mediante la simple cuantización canónica. Aplicando ese procedimiento formal llegamos a al análogo cuántico del teorema de Liouville:

\frac{\partial}{\partial t}\rho=-\frac{i}{\hbar}[H,\rho]

Donde ρ es la matriz densidad. Cuando se aplica el resultado al valor esperado de un observable, la correspondiente ecuación dada por el teorema de Ehrenfest toma la forma:

\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{i}{\hbar}\langle [H,A] \rangle

Donde A\, es un observable.

Referencias


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Mira otros diccionarios:

  • Mecánica hamiltoniana — La mecánica hamiltoniana fue formulada en 1833 por William R. Hamilton. Como la mecánica lagrangiana, es una reformulación de la mecánica clásica. La mecánica hamiltoniana puede ser formulada por sí misma, usando los espacios simplécticos, sin… …   Wikipedia Español

  • Teorema de Liouville — Existen varios teoremas conocidos como Teorema de Liouville atribuidos a Joseph Liouville: En análisis complejo, ver Teorema de Liouville (análisis complejo). En mecánica hamiltoniana, ver Teorema de Liouville (mecánica hamiltoniana). En… …   Wikipedia Español

  • Joseph Liouville — Joseph Liouville. Nacimiento 24 de marzo de 1809 …   Wikipedia Español

  • Hamiltoniano (mecánica clásica) — Para la versión cuántica del Hamiltoniano, véase Hamiltoniano (mecánica cuántica). El hamiltoniano es una función escalar a partir de la cual pueden obtenerse las ecuaciones de movimiento de un sistema mecánico clásico que se emplea en el enfoque …   Wikipedia Español

  • Transformación canónica — En mecánica hamiltoniana, una transformación canónica es un cambio de coordenadas canónicamente conjugadas que preserva la forma canónica de las ecuaciones de Hamilton, aun cuando la propia forma del Hamiltoniano no queda invariante. Las… …   Wikipedia Español

  • Topología simpléctica — La topología simpléctica es aquella parte de la matemática referida al estudio de las variedades simplécticas. Estas variedades se presentan naturalmente en la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica, que proporciona una de las… …   Wikipedia Español

  • Corchete de Poisson — Saltar a navegación, búsqueda En matemáticas y mecánica clásica, el corchete de Poisson es un importante operador de la mecánica hamiltoniana, actuando como pieza fundamental en la definición de la evolución temporal de un sistema dinámico en la… …   Wikipedia Español

  • Espacio fásico — de un sistema dinámico con estabilidad focal. En mecánica clásica, el espacio fásico, espacio de fases o diagrama de fases es una construcción matemática que permite representar el conjunto de posiciones y momentos conjugados de un sistema de… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”