Tensor de presión de Maxwell

Tensor de presión de Maxwell

El tensor de presion de Maxwell es un tensor de segundo orden que da idea de la fuerza a la que está sometido un cierto elemento de superficie debido al campo electromagnético.

Se define como:


T_{ij}=\epsilon_0(E_i E_j-\frac{1}{2}\delta_{ij}E^2)+\frac{1}{\mu_0}(B_iB_j-\frac{1}{2}\delta_{ij}B^2)

Donde Ek es la componente k-ésima y δij es la delta de Kronecker

Contenido

Motivación

El tensor de presión electromagnética aparece a raiz de realizar el cálculo de la fuerza total que ejerce el campo electromagnéticoen sobre todas las cargas existentes. De este modo, la fuerza total es:


\mathbf F=\oint_S\overset{\leftrightarrow}{\mathbf{T}} d\mathbf a-\epsilon_0\mu_0\frac{d}{dt}\int_V\mathbf S d\tau

Donde S es el vector de Poynting

Desarrollo matemático

La fuerza total ejercida sobre todas las cargas viene dada por la fuerza de Lorentz:


\mathbf F=\int_V(\rho\mathbf E+\mathbf J\times\mathbf B)d\tau

Por tanto, la fuerza por unidad de volumen es:


\mathbf f=\rho\mathbf E+\mathbf J\times\mathbf B

Expresando las densidades de carga y corriente en función de los campos a través de las ecuaciones de Maxwell se tiene:


\mathbf f=\epsilon_0(\nabla\cdot\mathbf E)\mathbf E+(\frac{1}{\mu_0}\nabla\times\mathbf B-\epsilon_0\frac{\partial \mathbf E}{\partial t})\times\mathbf B

Empleando:


\frac{\partial}{\partial t}(\mathbf E\times\mathbf B)=\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}\times\mathbf B  + \mathbf E \times \frac{\partial\mathbf B}{\partial t}=\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}\times\mathbf B- \mathbf E \times (\nabla\times\mathbf E)

Sustituyendo la anterior expresión en la fuerza por unidad de volumen y sumando el término nulo (\nabla\cdot\mathbf B)\mathbf B (el anterior término podemos sumarlo sin variar el resultado ya que  \nabla\cdot\mathbf B=0 ) tenemos que:


\mathbf f=\epsilon_0[(\nabla\cdot\mathbf E)\mathbf E-\mathbf E\times(\nabla\times\mathbf E)]-\frac{1}{\mu_0}[(\nabla\cdot\mathbf B)\mathbf B-\mathbf B\times(\nabla\times\mathbf B)]-\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}(\mathbf E\times\mathbf B)

Empleando las identidades vectoriales:


\nabla(E^2)=2(\mathbf E\cdot\nabla)\mathbf E+2\mathbf E\times(\nabla\times\mathbf E)

\nabla(B^2)=2(\mathbf B\cdot\nabla)\mathbf B+2\mathbf B\times(\nabla\times\mathbf B)

Se tiene que la expresión de la fuerza queda:


\mathbf f=\epsilon_0[(\nabla\cdot\mathbf E)\mathbf E+(\mathbf E\cdot\nabla)\mathbf E]+\frac{1}{\mu_0}[(\nabla\cdot\mathbf B)\mathbf B+(\mathbf B\cdot\nabla)\mathbf B]-\frac{1}{2} \nabla(\epsilon_0E^2+\frac{1}{\mu_0} B^2)-\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}(\mathbf E\times\mathbf B)

El tensor de Maxwell se define como:


T_{ij}=\epsilon_0(E_i E_j-\frac{1}{2}\delta_{ij}E^2)+\frac{1}{\mu_0}(B_iB_j-\frac{1}{2}\delta_{ij}B^2)

de forma que:


\nabla\overset{\leftrightarrow}{\mathbf{T}}=\epsilon_0[(\nabla\cdot\mathbf E)\mathbf E+(\mathbf E\cdot\nabla)\mathbf E]+\frac{1}{\mu_0}[(\nabla\cdot\mathbf B)\mathbf B+(\mathbf B\cdot\nabla)\mathbf B]-\frac{1}{2} \nabla(\epsilon_0E^2+\frac{1}{\mu_0} B^2)

La fuerza por unidad de volumen queda introduciendo el anterior tensor y el vector de Poynting como:


\mathbf f=\nabla\overset{\leftrightarrow}{\mathbf{T}}-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial}{\partial t}\mathbf S

La fuerza total resulta aplicando el teorema de la divergencia:


\mathbf F=\int_V\mathbf f d\tau=\oint_S\overset{\leftrightarrow}{\mathbf{T}} d\mathbf a-\epsilon_0\mu_0\frac{d}{dt}\int_V\mathbf S d\tau

Véase también

Referencias

  • David J. Griffiths, Introduction to electrodynamics

Wikimedia foundation. 2010.

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