Transformación en frecuencia

Transformación en frecuencia

La transformación en frecuencia es una técnica muy utilizada para el diseño de los distintos tipos de filtros que se definen como filtros analógicos (Pasa bajos, Pasa Altos, Pasa Banda y Rechaza Banda) mediante un prototipo pasa bajos normalizado el cual fue cuidadosamente estudiado. Para esto se recurre a la frecuencia normalizada \Omega=\Im(S) y para el dominio frecuencial tenemos que \omega=\Im(s).

También es útil el estudio del retardo de grupo que viene definido por: D_LP(\omega)=-{\partial \over {\partial \omega}}(\theta(\omega))

Contenido

Prototipo Pasa Bajos Normalizado

En las figuras a continuación se muestran los esquemas posibles del prototipo normalizado pasa bajos implementado con redes todo polo de orden N:

Para el caso de fuente de tension

Para el caso de fuente de corriente

Para el caso de los filtros de Butterworth los valores Xk se pueden calcular como X_k=2\sin[(2k-1){\pi \over N}] con k = 1..N

Transformación LPN-LP

La Transformación del prototipo normalizado PasaBajos hacia un PasaBajos se realiza mediante las siguientes igualdades:

  • S={s\over{\omega_c}}
  • \Omega={\omega\over{\omega_c}}

Con lo cual, para los valores de los elementos del filtro desnormalizado tenemos que:

  • SX_L={s\over{\omega_c}}X_L=sL\Rightarrow L={X_L\over \omega_c} (cuando el elemento X es un inductor).
  • {1 \over {SX_C}}={1 \over {sX_C \over \omega_c}}={1 \over {sC}}\Rightarrow C={X_C \over \omega_c} (cuando el elemento X es un condensador).

Aplicando la transformación, vemos que el retardo de grupo D_{LP}(\omega)=D_{LPN}(\Omega) {1 \over \omega_c}, es decir solo escalado por la frecuencia de corte ωc


Transformación LPN-HP

La Transformación del prototipo normalizado PasaBajos hacia un PasaAltos se realiza mediante las siguientes igualdades:

  • S={\omega_c\over s}
  • \Omega=-{\omega_c\over{\omega}}

Con lo cual, para los valores de los elementos del filtro desnormalizado tenemos que:

  • SX_L={\omega_c\over s}X_L={1 \over sC} \Rightarrow C={1 \over {\omega_c X_L}} (cuando el elemento X es un inductor).
  • {1 \over {SX_C}}={s \over {\omega_c X_C}}=sL \Rightarrow L={1 \over {\omega_c X_C}} (cuando el elemento X es un condensador).

Si analizamos el retardo de grupo en este caso mediante las transformaciones, tenemos que D_{HP}(\omega)=D_{LPN}(\Omega) {\omega_c \over \omega^2}


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