Triángulo aritmético de Fibonacci

Triángulo aritmético de Fibonacci

Es una ordenación triangular de números enteros impares que utilizó Fibonacci para demostrar la identidad \,1^3 + 2^3 + 3^3 + ... +n^3 = (1 + 2 + 3 + ... + n)^2

Contenido

El triángulo

1
5 3
11 9 7
19 17 15 13
29 27 25 23 21
41 39 37 35 33 31
55 53 51 49 47 45 43
71 69 67 65 63 61 59 57
89 87 85 83 81 79 77 75 73
109 107 105 103 101 99 97 95 93 91
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

[1]

La demostración

Fibonacci observó que cada k-ésima fila es una progresión aritmética cuyo valor medio es k². Por consiguiente, la suma de los k términos de la k-ésima fila es k . k² = k³. La suma "S" de las primeras n filas consecutivas es \,S = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3. Además Fibonacci conocía un resultado que la leyenda atribuye a Pitágoras: la suma de los primeros m enteros impares es igual a m². De esta forma \, S = (1 + 2 + 3 + ... + n)^2 porque en las primeras k filas hay 1 + 2 + 3 + ... + k números enteros impares.[2]

Propiedades elementales del triángulo de Fibonacci

  • La k-ésima fila tiene k elementos.
  • La suma de los elementos de la k-ésima fila es igual a k³.
  • El menor número entero impar que forma parte de la k-ésima fila es igual a k² - (k - 1).
  • El mayor número entero impar que está en la k-ésima fila es igual a k² + (k - 1).

Identidades deducidas del triángulo

Conocemos la identidad \, 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n^2 + n}{2}, que se demuestra por inducción matemática en los cursos elementales de álgebra. También sabemos que \, 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \left(\frac{n^2 + n}{2}\right)^2.

La suma de cubos de números enteros hasta un valor arbitrario n-1 es \, 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + (n-1)^3 = \left(\frac{\left(\,n-1\right)^2 + \left(\,n-1\right)}{2}\right)^2 = \left(\frac{n^2 - 2\cdot n + 1 + n - 1}{2}\right)^2 = \left(\frac{n^2 - n}{2}\right)^2.

Evidentemente \, n^3 = \left(\, 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3\right) - \left(\, 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + (n-1)^3\right) = \left(\frac{n^2 + n}{2}\right)^2 - \left(\frac{n^2 - n}{2}\right)^2 = = \left(\frac{n^2 + n}{2}\right)^2 - \left(\frac{(n - 1)^2 + (n - 1)}{2}\right)^2 .

La primera identidad deducida nos dice, entonces, que todo cubo es una diferencia de cuadrados, los cuadrados de dos números triangulares consecutivos cuyos órdenes son la raíz cúbica del cubo y ésta menos la unidad.

La segunda identidad es una generalización de verificación inmediata: n^{2j-1} = \left(\frac{n^j + n^{j-1}}{2}\right)^2 - \left(\frac{n^j - n^{j-1}}{2}\right)^2. Cualquier potencia de exponente impar puede escribirse como una diferencia de cuadrados.

Aunque originalmente estas consideraciones fueron efectuadas para números enteros, las identidades deducidas valen en el campo real.

Referencias y notas

  1. ↑ Dantzig, Tobías (1971). «Segunda Parte, B, Temas de los Enteros». El Número. Lenguaje de la Ciencia. Buenos Aires: Editorial Hobbs Sudamericana S.A.. pp. 278. 
  2. ↑ Dantzig, Tobías (1971). «Segunda Parte, B, Temas de los Enteros». El Número. Lenguaje de la Ciencia. Buenos Aires: Editorial Hobbs Sudamericana S.A.. pp. 277,78. 

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