Imagen inversa

Imagen inversa

La imagen inversa de una aplicación es la aplicación que a cada subconjunto del conjunto final de la aplicación le hace corresponder el conjunto de elementos del conjunto inicial cuya imagen se encuentra en este conjunto.[1] Observemos que es una aplicación que a un conjunto le hace corresponder otro conjunto.

Contenido

Definición simbólica

Sea \textstyle f: \mbox{A} \longrightarrow \mbox{B} una aplicación e \textstyle \mbox{Y} \subset \mbox{B} . La imagen inversa de \textstyle Y se define mediante la ecuación:

f^{-1}(Y)\quad = \quad \lbrace \quad x \in A \quad | \quad \exists y \in Y \quad | \quad f(x)=y \quad \rbrace

Propiedades

La imagen inversa resulta ser compatible con todas las operaciones con conjuntos:

Unión

\forall Y,Z \subset \mbox{B} \quad f^{-1}( \mbox{A} \cup \mbox{B} ) = f^{-1}(\mbox{A}) \cup f^{-1}(\mbox{B})


Intersección

\forall Y,Z \subset \mbox{B} \quad f^{-1}( \mbox{A} \cap\mbox{B} ) = f^{-1}(\mbox{A}) \cap f^{-1}(\mbox{B})

Complementario

\forall Y \subset \mbox{B} \quad f^{-1} ( \overline {\mbox{Y}} ) = \overline { f^{-1}( \mbox{Y} ) }


Diferencia de conjuntos

\forall \mbox{Y} , \mbox{Z} \subset \mbox{B} \quad f^{-1}(\mbox{Y} - \mbox{Z} ) = f^{-1} ( \mbox{Y} ) - f^{-1}( \mbox{Z} )

Aplicaciones

La imagen inversa se usa frecuentemente en topología y teoría de la medida.



  1. ↑ Introducción a la teoría de conjuntos y a la topología. Kazimierz Kuratovwsi. Vicens Universidad.

Wikimedia foundation. 2010.

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