Anexo:Tabla de coeficientes de Clebsch-Gordan

Anexo:Tabla de coeficientes de Clebsch-Gordan
Para ver su formulación y definición formal vea coeficientes Clebsch—Gordan.

Esta es una tabla de coeficientes de Clebsch-Gordan usada para sumar momentos angulares en mecánica cuántica. El signo global de los coeficientes para cada conjunto de j1, j2 y j constantes es en cierto grado arbitrario y ha sido fijado de acuerdo con la convención de Condon-Shortley y Wigner como viene dada en Baird and Biedenharn .[1] Tablas con la misma convención de signos pueden ser encontradas en Review of Particle Properties [2] del Particle Data Group y en tablas online.[3]

Contenido

Formulación

Los estados de momento angular total pueden ser expandidos usando la relación de completitud en las bases de momentos angulares parciales como

|(j_1j_2)JM\rangle = \sum_{m_1=-j_1}^{j_1} \sum_{m_2=-j_2}^{j_2} |j_1m_1j_2m_2\rangle \langle j_1m_1j_2m_2|JM\rangle= \sum_{m_1=-j_1}^{j_1} \sum_{m_2=-j_2}^{j_2} |j_1m_1\rangle|j_2m_2\rangle\langle j_1m_1j_2m_2|JM\rangle

Los coeficientes \langle j_1m_1j_2m_2|JM\rangle de la expansión son los coeficientes de Clebsch–Gordan. Estos se pueden escribir explícitamente como


\langle j_1m_1j_2m_2|jm\rangle=\delta_{m,m_1+m_2} \sqrt{\frac{(2j+1)(j+j_1-j_2)!(j-j_1+j_2)!(j_1+j_2-j)! }{(j_1+j_2+j+1)!}} \ \times

\sqrt{(j+m)!(j-m)!(j_1-m_1)!(j_1+m_1)!(j_2-m_2)!(j_2+m_2)!}\ \times

\sum_k \frac{(-1)^k}{k!(j_1+j_2-j-k)!(j_1-m_1-k)!(j_2+m_2-k)!(j-j_2+m_1+k)!(j-j_1-m_2+k)!}.


Donde la suma se hace sobre todos los k enteros para los para los que los argumentos de todos los factoriales involucrados sean no negativos.[4] Por brevedad, las soluciones con m < 0 son omitidas, pero pueden ser calculadas usando la siguiente relación


\langle j_1,m_1,j_2,m_2|j,m\rangle=(-1)^{j-j_1-j_2}\langle j_1,-m_1,j_2,-m_2|j,-m\rangle .


j1=1/2, j2=1/2

m=1 j=



m1, m2=
1
1/2, 1/2 1\!\,
m=0 j=



m1, m2=
1 0
1/2, -1/2 \sqrt{\frac{1}{2}}\!\, \sqrt{\frac{1}{2}}\!\,
-1/2, 1/2 \sqrt{\frac{1}{2}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{2}}\!\,

j1=1, j2=1/2

m=3/2 j=



m1, m2=
3/2
1, 1/2 1\!\,
m=1/2 j=



m1, m2=
3/2 1/2
1, -1/2 \sqrt{\frac{1}{3}}\!\, \sqrt{\frac{2}{3}}\!\,
0, 1/2 \sqrt{\frac{2}{3}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{3}}\!\,

j1=1, j2=1

m=2 j=



m1, m2=
2
1, 1 1\!\,
m=1 j=



m1, m2=
2 1
1, 0 \sqrt{\frac{1}{2}}\!\, \sqrt{\frac{1}{2}}\!\,
0, 1 \sqrt{\frac{1}{2}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{2}}\!\,
m=0 j=



m1, m2=
2 1 0
1, -1 \sqrt{\frac{1}{6}}\!\, \sqrt{\frac{1}{2}}\!\, \sqrt{\frac{1}{3}}\!\,
0, 0 \sqrt{\frac{2}{3}}\!\, 0\!\, -\sqrt{\frac{1}{3}}\!\,
-1, 1 \sqrt{\frac{1}{6}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{2}}\!\, \sqrt{\frac{1}{3}}\!\,

j1=3/2, j2=1/2

m=2 j=



m1, m2=
2
3/2, 1/2 1\!\,
m=1 j=



m1, m2=
2 1
3/2, -1/2 \frac{1}{2}\!\, \sqrt{\frac{3}{4}}\!\,
1/2, 1/2 \sqrt{\frac{3}{4}}\!\, -\frac{1}{2}\!\,
m=0 j=



m1, m2=
2 1
1/2, -1/2 \sqrt{\frac{1}{2}}\!\, \sqrt{\frac{1}{2}}\!\,
-1/2, 1/2 \sqrt{\frac{1}{2}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{2}}\!\,

j1=3/2, j2=1

m=5/2 j=



m1, m2=
5/2
3/2, 1 1\!\,
m=3/2 j=



m1, m2=
5/2 3/2
3/2, 0 \sqrt{\frac{2}{5}}\!\, \sqrt{\frac{3}{5}}\!\,
1/2, 1 \sqrt{\frac{3}{5}}\!\, -\sqrt{\frac{2}{5}}\!\,
m=1/2 j=



m1, m2=
5/2 3/2 1/2
3/2, -1 \sqrt{\frac{1}{10}}\!\, \sqrt{\frac{2}{5}}\!\, \sqrt{\frac{1}{2}}\!\,
1/2, 0 \sqrt{\frac{3}{5}}\!\, \sqrt{\frac{1}{15}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{3}}\!\,
-1/2, 1 \sqrt{\frac{3}{10}}\!\, -\sqrt{\frac{8}{15}}\!\, \sqrt{\frac{1}{6}}\!\,

j1=3/2, j2=3/2

m=3 j=



m1, m2=
3
3/2, 3/2 1\!\,
m=2 j=



m1, m2=
3 2
3/2, 1/2 \sqrt{\frac{1}{2}}\!\, \sqrt{\frac{1}{2}}\!\,
1/2, 3/2 \sqrt{\frac{1}{2}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{2}}\!\,
m=1 j=



m1, m2=
3 2 1
3/2, -1/2 \sqrt{\frac{1}{5}}\!\, \sqrt{\frac{1}{2}}\!\, \sqrt{\frac{3}{10}}\!\,
1/2, 1/2 \sqrt{\frac{3}{5}}\!\, 0\!\, -\sqrt{\frac{2}{5}}\!\,
-1/2, 3/2 \sqrt{\frac{1}{5}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{2}}\!\, \sqrt{\frac{3}{10}}\!\,
m=0 j=



m1, m2=
3 2 1 0
3/2, -3/2 \sqrt{\frac{1}{20}}\!\, \frac{1}{2}\!\, \sqrt{\frac{9}{20}}\!\, \frac{1}{2}\!\,
1/2, -1/2 \sqrt{\frac{9}{20}}\!\, \frac{1}{2}\!\, -\sqrt{\frac{1}{20}}\!\, -\frac{1}{2}\!\,
-1/2, 1/2 \sqrt{\frac{9}{20}}\!\, -\frac{1}{2}\!\, -\sqrt{\frac{1}{20}}\!\, \frac{1}{2}\!\,
-3/2, 3/2 \sqrt{\frac{1}{20}}\!\, -\frac{1}{2}\!\, \sqrt{\frac{9}{20}}\!\, -\frac{1}{2}\!\,

j1=2, j2=1/2

m=5/2 j=



m1, m2=
5/2
2, 1/2 1\!\,
m=3/2 j=



m1, m2=
5/2 3/2
2, -1/2 \sqrt{\frac{1}{5}}\!\, \sqrt{\frac{4}{5}}\!\,
1, 1/2 \sqrt{\frac{4}{5}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{5}}\!\,
m=1/2 j=



m1, m2=
5/2 3/2
1, -1/2 \sqrt{\frac{2}{5}}\!\, \sqrt{\frac{3}{5}}\!\,
0, 1/2 \sqrt{\frac{3}{5}}\!\, -\sqrt{\frac{2}{5}}\!\,

j1=2, j2=1

m=3 j=



m1, m2=
3
2, 1 1\!\,
m=2 j=



m1, m2=
3 2
2, 0 \sqrt{\frac{1}{3}}\!\, \sqrt{\frac{2}{3}}\!\,
1, 1 \sqrt{\frac{2}{3}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{3}}\!\,
m=1 j=



m1, m2=
3 2 1
2, -1 \sqrt{\frac{1}{15}}\!\, \sqrt{\frac{1}{3}}\!\, \sqrt{\frac{3}{5}}\!\,
1, 0 \sqrt{\frac{8}{15}}\!\, \sqrt{\frac{1}{6}}\!\, -\sqrt{\frac{3}{10}}\!\,
0, 1 \sqrt{\frac{2}{5}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{2}}\!\, \sqrt{\frac{1}{10}}\!\,
m=0 j=



m1, m2=
3 2 1
1, -1 \sqrt{\frac{1}{5}}\!\, \sqrt{\frac{1}{2}}\!\, \sqrt{\frac{3}{10}}\!\,
0, 0 \sqrt{\frac{3}{5}}\!\, 0\!\, -\sqrt{\frac{2}{5}}\!\,
-1, 1 \sqrt{\frac{1}{5}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{2}}\!\, \sqrt{\frac{3}{10}}\!\,

j1=2, j2=3/2

m=7/2 j=



m1, m2=
7/2
2, 3/2 1\!\,
m=5/2 j=



m1, m2=
7/2 5/2
2, 1/2 \sqrt{\frac{3}{7}}\!\, \sqrt{\frac{4}{7}}\!\,
1, 3/2 \sqrt{\frac{4}{7}}\!\, -\sqrt{\frac{3}{7}}\!\,
m=3/2 j=



m1, m2=
7/2 5/2 3/2
2, -1/2 \sqrt{\frac{1}{7}}\!\, \sqrt{\frac{16}{35}}\!\, \sqrt{\frac{2}{5}}\!\,
1, 1/2 \sqrt{\frac{4}{7}}\!\, \sqrt{\frac{1}{35}}\!\, -\sqrt{\frac{2}{5}}\!\,
0, 3/2 \sqrt{\frac{2}{7}}\!\, -\sqrt{\frac{18}{35}}\!\, \sqrt{\frac{1}{5}}\!\,
m=1/2 j=



m1, m2=
7/2 5/2 3/2 1/2
2, -3/2 \sqrt{\frac{1}{35}}\!\, \sqrt{\frac{6}{35}}\!\, \sqrt{\frac{2}{5}}\!\, \sqrt{\frac{2}{5}}\!\,
1, -1/2 \sqrt{\frac{12}{35}}\!\, \sqrt{\frac{5}{14}}\!\, 0\!\, -\sqrt{\frac{3}{10}}\!\,
0, 1/2 \sqrt{\frac{18}{35}}\!\, -\sqrt{\frac{3}{35}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{5}}\!\, \sqrt{\frac{1}{5}}\!\,
-1, 3/2 \sqrt{\frac{4}{35}}\!\, -\sqrt{\frac{27}{70}}\!\, \sqrt{\frac{2}{5}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{10}}\!\,

j1=2, j2=2

m=4 j=



m1, m2=
4
2, 2 1\!\,
m=3 j=



m1, m2=
4 3
2, 1 \sqrt{\frac{1}{2}}\!\, \sqrt{\frac{1}{2}}\!\,
1, 2 \sqrt{\frac{1}{2}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{2}}\!\,
m=2 j=



m1, m2=
4 3 2
2, 0 \sqrt{\frac{3}{14}}\!\, \sqrt{\frac{1}{2}}\!\, \sqrt{\frac{2}{7}}\!\,
1, 1 \sqrt{\frac{4}{7}}\!\, 0\!\, -\sqrt{\frac{3}{7}}\!\,
0, 2 \sqrt{\frac{3}{14}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{2}}\!\, \sqrt{\frac{2}{7}}\!\,
m=1 j=



m1, m2=
4 3 2 1
2, -1 \sqrt{\frac{1}{14}}\!\, \sqrt{\frac{3}{10}}\!\, \sqrt{\frac{3}{7}}\!\, \sqrt{\frac{1}{5}}\!\,
1, 0 \sqrt{\frac{3}{7}}\!\, \sqrt{\frac{1}{5}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{14}}\!\, -\sqrt{\frac{3}{10}}\!\,
0, 1 \sqrt{\frac{3}{7}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{5}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{14}}\!\, \sqrt{\frac{3}{10}}\!\,
-1, 2 \sqrt{\frac{1}{14}}\!\, -\sqrt{\frac{3}{10}}\!\, \sqrt{\frac{3}{7}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{5}}\!\,
m=0 j=



m1, m2=
4 3 2 1 0
2, -2 \sqrt{\frac{1}{70}}\!\, \sqrt{\frac{1}{10}}\!\, \sqrt{\frac{2}{7}}\!\, \sqrt{\frac{2}{5}}\!\, \sqrt{\frac{1}{5}}\!\,
1, -1 \sqrt{\frac{8}{35}}\!\, \sqrt{\frac{2}{5}}\!\, \sqrt{\frac{1}{14}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{10}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{5}}\!\,
0, 0 \sqrt{\frac{18}{35}}\!\, 0\!\, -\sqrt{\frac{2}{7}}\!\, 0\!\, \sqrt{\frac{1}{5}}\!\,
-1, 1 \sqrt{\frac{8}{35}}\!\, -\sqrt{\frac{2}{5}}\!\, \sqrt{\frac{1}{14}}\!\, \sqrt{\frac{1}{10}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{5}}\!\,
-2, 2 \sqrt{\frac{1}{70}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{10}}\!\, \sqrt{\frac{2}{7}}\!\, -\sqrt{\frac{2}{5}}\!\, \sqrt{\frac{1}{5}}\!\,

j1=5/2, j2=1/2

m=3 j=



m1, m2=
3
5/2, 1/2 1\!\,
m=2 j=



m1, m2=
3 2
5/2, -1/2 \sqrt{\frac{1}{6}}\!\, \sqrt{\frac{5}{6}}\!\,
3/2, 1/2 \sqrt{\frac{5}{6}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{6}}\!\,
m=1 j=



m1, m2=
3 2
3/2, -1/2 \sqrt{\frac{1}{3}}\!\, \sqrt{\frac{2}{3}}\!\,
1/2, 1/2 \sqrt{\frac{2}{3}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{3}}\!\,
m=0 j=



m1, m2=
3 2
1/2, -1/2 \sqrt{\frac{1}{2}}\!\, \sqrt{\frac{1}{2}}\!\,
-1/2, 1/2 \sqrt{\frac{1}{2}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{2}}\!\,

j1=5/2, j2=1

m=7/2 j=



m1, m2=
7/2
5/2, 1 1\!\,
m=5/2 j=



m1, m2=
7/2 5/2
5/2, 0 \sqrt{\frac{2}{7}}\!\, \sqrt{\frac{5}{7}}\!\,
3/2, 1 \sqrt{\frac{5}{7}}\!\, -\sqrt{\frac{2}{7}}\!\,
m=3/2 j=



m1, m2=
7/2 5/2 3/2
5/2, -1 \sqrt{\frac{1}{21}}\!\, \sqrt{\frac{2}{7}}\!\, \sqrt{\frac{2}{3}}\!\,
3/2, 0 \sqrt{\frac{10}{21}}\!\, \sqrt{\frac{9}{35}}\!\, -\sqrt{\frac{4}{15}}\!\,
1/2, 1 \sqrt{\frac{10}{21}}\!\, -\sqrt{\frac{16}{35}}\!\, \sqrt{\frac{1}{15}}\!\,
m=1/2 j=



m1, m2=
7/2 5/2 3/2
3/2, -1 \sqrt{\frac{1}{7}}\!\, \sqrt{\frac{16}{35}}\!\, \sqrt{\frac{2}{5}}\!\,
1/2, 0 \sqrt{\frac{4}{7}}\!\, \sqrt{\frac{1}{35}}\!\, -\sqrt{\frac{2}{5}}\!\,
-1/2, 1 \sqrt{\frac{2}{7}}\!\, -\sqrt{\frac{18}{35}}\!\, \sqrt{\frac{1}{5}}\!\,

j1=5/2, j2=3/2

m=4 j=



m1, m2=
4
5/2, 3/2 1\!\,
m=3 j=



m1, m2=
4 3
5/2, 1/2 \sqrt{\frac{3}{8}}\!\, \sqrt{\frac{5}{8}}\!\,
3/2, 3/2 \sqrt{\frac{5}{8}}\!\, -\sqrt{\frac{3}{8}}\!\,
m=2 j=



m1, m2=
4 3 2
5/2, -1/2 \sqrt{\frac{3}{28}}\!\, \sqrt{\frac{5}{12}}\!\, \sqrt{\frac{10}{21}}\!\,
3/2, 1/2 \sqrt{\frac{15}{28}}\!\, \sqrt{\frac{1}{12}}\!\, -\sqrt{\frac{8}{21}}\!\,
1/2, 3/2 \sqrt{\frac{5}{14}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{2}}\!\, \sqrt{\frac{1}{7}}\!\,
m=1 j=



m1, m2=
4 3 2 1
5/2, -3/2 \sqrt{\frac{1}{56}}\!\, \sqrt{\frac{1}{8}}\!\, \sqrt{\frac{5}{14}}\!\, \sqrt{\frac{1}{2}}\!\,
3/2, -1/2 \sqrt{\frac{15}{56}}\!\, \sqrt{\frac{49}{120}}\!\, \sqrt{\frac{1}{42}}\!\, -\sqrt{\frac{3}{10}}\!\,
1/2, 1/2 \sqrt{\frac{15}{28}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{60}}\!\, -\sqrt{\frac{25}{84}}\!\, \sqrt{\frac{3}{20}}\!\,
-1/2, 3/2 \sqrt{\frac{5}{28}}\!\, -\sqrt{\frac{9}{20}}\!\, \sqrt{\frac{9}{28}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{20}}\!\,
m=0 j=



m1, m2=
4 3 2 1
3/2, -3/2 \sqrt{\frac{1}{14}}\!\, \sqrt{\frac{3}{10}}\!\, \sqrt{\frac{3}{7}}\!\, \sqrt{\frac{1}{5}}\!\,
1/2, -1/2 \sqrt{\frac{3}{7}}\!\, \sqrt{\frac{1}{5}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{14}}\!\, -\sqrt{\frac{3}{10}}\!\,
-1/2, 1/2 \sqrt{\frac{3}{7}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{5}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{14}}\!\, \sqrt{\frac{3}{10}}\!\,
-3/2, 3/2 \sqrt{\frac{1}{14}}\!\, -\sqrt{\frac{3}{10}}\!\, \sqrt{\frac{3}{7}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{5}}\!\,

j1=5/2, j2=2

m=9/2 j=



m1, m2=
9/2
5/2, 2 1\!\,
m=7/2 j=



m1, m2=
9/2 7/2
5/2, 1 \frac{2}{3}\!\, \sqrt{\frac{5}{9}}\!\,
3/2, 2 \sqrt{\frac{5}{9}}\!\, -\frac{2}{3}\!\,
m=5/2 j=



m1, m2=
9/2 7/2 5/2
5/2, 0 \sqrt{\frac{1}{6}}\!\, \sqrt{\frac{10}{21}}\!\, \sqrt{\frac{5}{14}}\!\,
3/2, 1 \sqrt{\frac{5}{9}}\!\, \sqrt{\frac{1}{63}}\!\, -\sqrt{\frac{3}{7}}\!\,
1/2, 2 \sqrt{\frac{5}{18}}\!\, -\sqrt{\frac{32}{63}}\!\, \sqrt{\frac{3}{14}}\!\,
m=3/2 j=



m1, m2=
9/2 7/2 5/2 3/2
5/2, -1 \sqrt{\frac{1}{21}}\!\, \sqrt{\frac{5}{21}}\!\, \sqrt{\frac{3}{7}}\!\, \sqrt{\frac{2}{7}}\!\,
3/2, 0 \sqrt{\frac{5}{14}}\!\, \sqrt{\frac{2}{7}}\!\, -\sqrt{\frac{1}{70}}\!\, -\sqrt{\frac{12}{35}}\!\,
1/2, 1 \sqrt{\frac{10}{21}}\!\, -\sqrt{\frac{2}{21}}\!\, -\sqrt{\frac{6}{35}}\!\, \sqrt{\frac{9}{35}}\!\,
-1/2, 2 \sqrt{\frac{5}{42}}\!\, -\sqrt{\frac{8}{21}}\!\, \sqrt{\frac{27}{70}}\!\, -\sqrt{\frac{4}{35}}\!\,
m=1/2 j=



m1, m2=
9/2 7/2 5/2 3/2 1/2
5/2, -2 \sqrt{\frac{1}{126}}\!\, \sqrt{\frac{4}{63}}\!\, \sqrt{\frac{3}{14}}\!\, \sqrt{\frac{8}{21}}\!\, \sqrt{\frac{1}{3}}\!\,
3/2, -1 \sqrt{\frac{10}{63}}\!\, \sqrt{\frac{121}{315}}\!\, \sqrt{\frac{6}{35}}\!\, -\sqrt{\frac{2}{105}}\!\, -\sqrt{\frac{4}{15}}\!\,
1/2, 0 \sqrt{\frac{10}{21}}\!\, \sqrt{\frac{4}{105}}\!\, -\sqrt{\frac{8}{35}}\!\, -\sqrt{\frac{2}{35}}\!\, \sqrt{\frac{1}{5}}\!\,
-1/2, 1 \sqrt{\frac{20}{63}}\!\, -\sqrt{\frac{14}{45}}\!\, 0\!\, \sqrt{\frac{5}{21}}\!\, -\sqrt{\frac{2}{15}}\!\,
-3/2, 2 \sqrt{\frac{5}{126}}\!\, -\sqrt{\frac{64}{315}}\!\, \sqrt{\frac{27}{70}}\!\, -\sqrt{\frac{32}{105}}\!\, \sqrt{\frac{1}{15}}\!\,

Referencias

  1. ↑ Baird, C.E.; L. C. Biedenharn (October 1964). «On the Representations of the Semisimple Lie Groups. III. The Explicit Conjugation Operation for SUn». J. Math. Phys. 5:  pp. 1723–1730. doi:10.1063/1.1704095. http://link.aip.org/link/?JMAPAQ/5/1723/1. 
  2. ↑ Hagiwara, K.; et al. (July 2002). «Review of Particle Properties» (PDF). Phys. Rev. D 66:  pp. 010001. doi:10.1103/PhysRevD.66.010001. http://pdg.lbl.gov/2002/clebrpp.pdf. 
  3. ↑ Mathar, Richard J. (14-08-2006). «SO(3) Clebsch Gordan coefficients» (text). Consultado el 20-12-2007.
  4. ↑ (2.41), p. 172, Quantum Mechanics: Foundations and Applications, Arno Bohm, M. Loewe, New York: Springer-Verlag, 3rd ed., 1993, ISBN 0-387-95330-2.

Enlaces externos


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Mira otros diccionarios:

  • Coeficientes Clebsch—Gordan — Para los coeficientes vea el Anexo:Tabla de coeficientes de Clebsch Gordan. En física, los coeficientes Clebsch Gordan o coeficientes CG son el conjunto de números que aparecen al acoplar momentos angulares en mecánica cuántica. El nombre deriva… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”