Número de Pisot-Vijayaraghavan

Número de Pisot-Vijayaraghavan

En matemáticas, un número de Pisot-Vijayaraghavan (también conocido simplemente como número de Pisot o número de PV), es un entero algebraico \alpha\, que es real mayor que 1, pero sus elementos conjugados son todos menores que 1 en valor absoluto.

Por ejemplo, si \alpha\, es un irracional cuadrático, entonces sólo existe un conjugado, \alpha'\,, obtenido cambiando el signo de la raíz cuadrada en \alpha\,; a partir de

\alpha = a + b \sqrt d

con a y b enteros, o siendo ambos la mitad de un entero impar, se obtiene

\alpha' = a - b \sqrt d

Las condiciones son entonces

\alpha > 1\,

y

-1 < \alpha'< 1\,

Por ejemplo, el número áureo, φ, cumple estas condiciones, ya que

\varphi = \frac{1 + \sqrt 5}{2} > 1

y

\varphi' = \frac{1 - \sqrt 5} 2 = \frac{-1}\varphi .

La condición general fue investigada por G. H. Hardy en relación con un problema de aproximación diofántica. Este trabajo fue retomado por Tirukkannapuram Vijayaraghavan (1902–1955), un matemático indio de la región de Madrás que había viajado a Oxford para trabajar con Hardy a mediados de los años 1920. La misma condición se da en algunos problemas de series de Fourier, y fue estudiada por Charles Pisot. El nombre más común con el que se designa a estos números hace referencia a estos dos autores.

Los números de Pisot-Vijayaraghavan pueden utilizarse para generar cuasienteros: la potencia n-ésima de un número de Pisot se "aproxima" a los enteros cuando n tiende a infinito. Por ejemplo, considérense las potencias de \phi\, tales como \phi^{21} = 24476.0000409\,. El efecto puede ser aún más acusado para los números de Pisot generados a partir de ecuaciones de grado mayor.

Esta propiedad parte del hecho de que para cada n, la suma de las potencias n-ésimas de un entero algebraico x y sus conjugados es exactamente un número entero; cuando x es un número de Pisot, las potencias n-ésimas de sus (demás) conjugados tienden a 0 cuando n tiende a infinito.

El número de Pisot-Vijayaraghavan más pequeño es la única raíz real de x^3 - x - 1\,, y se conoce como el número plástico (aproximadamente 1,324718).

El menos de los puntos de acumulación del conjunto de los números de Pisot-Vijayaraghavan es el número áureo \varphi = \frac{1 + \sqrt 5}{2} \approx 1.618033. El conjunto de los números de Pisot-Vijayaraghavan no es denso en ninguna parte porque es un conjunto cerrado y numerable.

Contenido

Tabla de números de Pisot

He aquí los 38 números de Pisot que son menores que 1,618, en orden ascendente.

Valor Raíz de...
1 1,3247179572447460260 x3x − 1
2 1,3802775690976141157 x4x3 − 1
3 1,4432687912703731076 x5x4x3 + x2 − 1
4 1,4655712318767680267 x3x2 − 1
5 1,5015948035390873664 x6x5x4 + x2 − 1
6 1,5341577449142669154 x5x3x2x − 1
7 1,5452156497327552432 x7x6x5 + x2 − 1
8 1,5617520677202972947 x6 − 2x5 + x4x2 + x − 1
9 1,5701473121960543629 x5x4x2 − 1
10 1,5736789683935169887 x8x7x6 + x2 − 1
11 1,5900053739013639252 x7x5x4x3x2x − 1
12 1,5911843056671025063 x9x8x7 + x2 − 1
13 1,6013473337876367242 x7x6x4x2 − 1
14 1,6017558616969832557 x10x9x8 + x2 − 1
15 1,6079827279282011499 x9x7x6x5x4x3x2x − 1
16 1,6081283851873869594 x11x10x9 + x2 − 1
17 1,6119303965641198198 x9x8x6x4x2 − 1
18 1,6119834212464921559 x12x11x10 + x2 − 1
19 1,6143068232571485146 x11x9x8x7x6x5x4x3x2x − 1
20 1,6143264149391271041 x13x12x11 + x2 − 1
21 1,6157492027552106107 x11x10x8x6x4x2 − 1
22 1,6157565175408433755 x14x13x12 + x2 − 1
23 1,6166296843945727036 x13x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x − 1
24 1,6166324353879050082 x15x14x13 + x2 − 1
25 1,6171692963550925635 x13x12x10x8x6x4x2 − 1
26 1,6171703361720168476 x16x15x14 + x2 − 1
27 1,6175009054313240144 x15x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x − 1
28 1,6175012998129095573 x17x16x15 + x2 − 1
29 1,6177050699575566445 x15x14x12x10x8x6x4x2 − 1
30 1,6177052198884550971 x18x17x16 + x2 − 1
31 1,6178309287889738637 x17x15x14x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x − 1
32 1,6178309858778122988 x19x18x17 + x2 − 1
33 1,6179085817671650120 x17x16x14x12x10x8x6x4x2 − 1
34 1,6179086035278053858 x20x19x18 + x2 − 1
35 1,6179565199535642392 x19x17x16x15x14x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x − 1
36 1,6179565282539765702 x21x20x19 + x2 − 1
37 1,6179861253852491516 x19x18x16x14x12x10x8x6x4x2 − 1
38 1,6179861285528618287 x22x21x20 + x2 − 1

El número 2+\sqrt 2 es un número de Pisot que no es una unidad, ya que satisface la ecuación x2-4x+2=0.

Todo cuerpo de números algebraicos reales contiene un número de Pisot-Vijayaraghavan que genera dicho cuerpo. En los cuerpos cuadráticos y cúbicos no es difícil encontrar una unidad que sea un número de Pisot-Vijayaraghavan

Véase también

Referencias

  • M.J. Bertin; A. Decomps-Guilloux, M. Grandet-Hugot, M. Pathiaux-Delefosse, J.P. Schreiber (1992). Pisot and Salem Numbers. Birkhäuser. ISBN 3764326484. 
  • Peter Borwein (2002). Computational Excursions in Analysis and Number Theory. CMS Books in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 0-387-95444-9. 
  • D.W. Boyd (1978). «Pisot and Salem numbers in intervals of the real line». Math. Comp. 32:  pp. 1244–1260. doi:10.2307/2006349. 
  • J.W.S. Cassels (1957). An introduction to Diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. 45. Cambridge University Press. pp. 133-144. 

Enlaces externos


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