Sudoku backtracking

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Descripción detallada del problema

El famoso juego del Sudoku consiste en rellenar un cubo de 9 x 9 celdas dispuestas en 9 subgrupos de 3 x 3 celdas, con números del 1 al 9, atendiendo a la restricción de que no se debe repetir el mismo número en la misma fila, columna o subgrupo de 9.

Un Sudoku dispone de varias celdas con un valor inicial, de modo que debemos empezar a resolver el problema a partir de esta solución parcial sin modificar ninguna de las celdas iniciales.

Estrategia de resolución usando Backtracking

El tablero del Sudoku a resolver viene dado por una matriz “Sol [1..9,1..9] de 0..9” donde Sol[i, j] representa el valor que toma dicha celda, correspondiéndose el valor 0 con una casilla vacía.

Se utilizará una matriz auxiliar “inicial[1..9, 1..9] de Bool” donde inicial[i, j] representa una celda con valor inicial que no se puede modificar y se corresponde con la celda “Sol[i, j]”.

A la hora de ramificar el árbol de exploración, solo lo haremos si la solución parcial que estamos atendiendo es k-prometedora, esto es, si a partir de dicha solución parcial podremos seguir construyendo soluciones parciales. Para atender a este punto, utilizaremos una función auxiliar denominada “es_factible”.

La función “es_factible” comprueba para una celda determinada, que no se repita su valor en la misma fila, columna o subgrupo de 3x3, atendiendo así a la restricción que comentábamos en la descripción detallada del problema.

Dado que un Sudoku Puede tener varias soluciones, implementaremos el algoritmo en consecuencia.

Árbol de exploración

El árbol de exploración generado tendrá las siguientes características:

• Altura = m + 1:

Siendo m el número de casillas vacías inicialmente.

• Nº de Hijos de cada nodo = 9:

Un hijo por cada posible valor de la celda i j.

Implementación en Pseudocódigo

Proc sudoku_VA (i, j: Nat; sol[1..9, 1..9] de 0..9; inicial[1..9, 1..9] de Bool)
   Si (inicial [i, j] = Falso) Entonces
      Para (k := 1) Hasta 9 Hacer
         sol[i, j] := k;                                 //marcar
         Si (es_factible (i, j, sol)) Entonces
            Casos
               i = 9 ^ j = 9 -> mostrarPorPantalla(sol);
               i < 9 ^ j = 9 -> sudoku_VA (i+1, 1, sol, inicial);
               i <= 9 ^ j < 9 -> sudoku_VA( i , j+1, sol, inicial);
            FinCasos;
         FinSi;
         sol[i, j] : = 0;                                //Desmarcar
      FinPara;
   En Otro Caso //inicial[i, j] = Cierto
      Casos
         i = 9 ^ j = 9 -> mostrarPorPantalla(sol);
         i < 9 ^ j = 9 -> sudoku_VA (i+1, 1, sol, inicial);
         i <= 9 ^ j < 9 -> sudoku_VA( i , j+1, sol, inicial);
      FinCasos;
   FinSi;    
FinProc;

Llamada Inicial

Proc sudoku (sol[1..9, 1..9] de 0..9)
   Var 
      inicial[1..9, 1..9] de Bool;
   FinVar;
   Para (i := 1) Hasta 9 Hacer
      Para (j := 1) Hasta 9 Hacer
            inicial[i, j] := Sol[i, j] != 0;
      FinPara;
   FinPara;
   sudoku_VA(1, 1, sol, inicial);
FinProc;

Funciones Auxiliares

Función auxiliar que comprueba la factibilidad de una solución parcial.

Fun es_factible (i, j : Nat; sol[1..9, 1..9] de 0..9) DEV Bool
   Mientras (k <= 9 ^ valido) Hacer                   //Comprobamos la columna
      Si ( sol[i, j] = sol[k, j] ^ k != i ){
         Valido := Falso;
      FinSi;
      k := k + 1;
   FinMientras;
   k := correspondencia3x3(i);
   l :=  correspondencia3x3(j);                          //Comprobamos el subgrupo de 3x3
   Mientras ( k < correspondencia3x3(i) + 3 ^ valido ) Hacer 
      Mientras ( l < correspondencia3x3(j) + 3 ^ valido) Hacer
         Si ( sol[i, j] = sol[k, l] ^ i != k ^ j != l) Entonces
            valido := Falso;
         FinSi;
         l := l + 1;
      FinMientras;
      k := k + 1;
      l :=  correspondencia3x3(j);
   FinMientras;
   Devolver valido;
FinFun;

Función auxiliar que se utiliza para averiguar la celda inicial desde la que haremos la comprobación de factibilidad de una celda determinada en su correspondiente subgrupo de 3x3 celdas.

Fun correspondencia3x3 (i: Nat) DEV Nat
   Var
      k : Nat;
      resultado: Nat;
   FinVar;
   Si ( i MOD 3 = 0) Entonces 
      k := (i DIV 3);
   En Otro Caso
      k := ( I DIV 3) + 1;
   FinSi;
   Casos
      k = 1 -> resultado := 1;
      k = 2 -> resultado := 4;
      k = 3 -> resultado := 7;
   FinCasos;
   Devolver resultado;
FinFun;

Otras estrategias de resolución

• Sudoku ramificación y poda