Teorema de Mordell-Weil

Teorema de Mordell-Weil: En álgebra el teorema de Mordell-Weil es una extensión a grupos abelianos realizada por André Weil en 1928 al Teorema de Mordell de 1922 respecto de las curvas elípticas sobre $\mathbb{Q}$ .

Enunciado

El Teorema de Mordell afirma que si $E : = y 2 = f (x)$ es una curva elíptica racional no singular, esto es que $f$ y $d f$ no tengan raíces comunes, entonces el grupo de los puntos racionales $E(\mathbb{Q})$ es un grupo abeliano finitamente generado.

Es decir, este grupo va a ser isomorfo a el producto $r$ veces de $\mathbb{Z}$ (a $r$ se le conoce por el rango de la curva) multiplicados a su vez por una cierta cantidad de grupos finitos i.e. $E(\mathbb{Q})\cong\overbrace{\mathbb{Z}\oplus...\oplus\mathbb{Z}}^{r\;\; veces }\oplus\frac{\mathbb{Z}}{p_1^{\lambda_1}\mathbb{Z}}\oplus...\oplus\frac{\mathbb{Z}}{p_s^{\lambda_s}\mathbb{Z}}$

Si la curva es singular, entonces este teorema no es aplicable, pero además es que es falso, pues entonces el grupo $E(\mathbb{Q})$ va a ser isomorfo a $\mathbb{Q}$ con la suma o $\mathbb{Q}^*$ con la multiplicación, que no son finitamente generados.

Categoría:
Teoremas de álgebra

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

André Weil — Saltar a navegación, búsqueda Weil en 1956 André Weil (París, Francia, 6 de mayo de 1906 Princeton, New Jersey, Estados Unidos, 6 de agosto de 1998), matemático francés recordado por sus notables contribuciones a la teoría d … Wikipedia Español
Curva elíptica — Saltar a navegación, búsqueda En matemáticas, las curvas elípticas se definen mediante ecuaciones cúbicas (de tercer grado). Han sido usadas para probar el último teorema de Fermat y se emplean también en criptografía (para más detalles ver el… … Wikipedia Español
Jean-Pierre Serre — Jean Pierre Serre. Jean Pierre Serre (nacido el 15 de septiembre de 1926) es un matemático francés. Por sus contribuciones a la geometría algebraica, la teoría de números y la topología ha sido considerado uno de los matemáticos más prominentes… … Wikipedia Español
De Franchis theorem — In mathematics, the de Franchis theorem is one of a number of closely related statements applying to compact Riemann surfaces, or, more generally, algebraic curves, X and Y, in the case of genus g > 1. The simplest is that the automorphism… … Wikipedia

Los diccionarios y las enciclopedias sobre el Académico