Teorema de Mordell-Weil

Teorema de Mordell-Weil: En álgebra el teorema de Mordell-Weil es una extensión a grupos abelianos realizada por André Weil en 1928 al Teorema de Mordell de 1922 respecto de las curvas elípticas sobre $\mathbb{Q}$ .

Enunciado

El Teorema de Mordell afirma que si $E : = y 2 = f (x)$ es una curva elíptica racional no singular, esto es que $f$ y $d f$ no tengan raíces comunes, entonces el grupo de los puntos racionales $E(\mathbb{Q})$ es un grupo abeliano finitamente generado.

Es decir, este grupo va a ser isomorfo a el producto $r$ veces de $\mathbb{Z}$ (a $r$ se le conoce por el rango de la curva) multiplicados a su vez por una cierta cantidad de grupos finitos i.e. $E(\mathbb{Q})\cong\overbrace{\mathbb{Z}\oplus...\oplus\mathbb{Z}}^{r\;\; veces }\oplus\frac{\mathbb{Z}}{p_1^{\lambda_1}\mathbb{Z}}\oplus...\oplus\frac{\mathbb{Z}}{p_s^{\lambda_s}\mathbb{Z}}$

Si la curva es singular, entonces este teorema no es aplicable, pero además es que es falso, pues entonces el grupo $E(\mathbb{Q})$ va a ser isomorfo a $\mathbb{Q}$ con la suma o $\mathbb{Q}^*$ con la multiplicación, que no son finitamente generados.

Categoría:
Teoremas de álgebra

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