Transformación de Tschirnhaus

En matemáticas , una transformación de Tschirnhaus, desarrollado por Ehrenfried Walther von Tschirnhaus en 1683, es un tipo de asignación de polinomios . Puede definirse convenientemente por medio de la teoría del campo , como la transformación en polinomios mínimos que implica una elección diferente de elemento primitivo . Esta es la transformación más general de un polinomio irreducible que tiene una raíz en cierta función racional aplicada a esa raíz.

En concreto, sea K un campo, y P (t) un polinomio sobre K. Si P es irreducible, entonces K [t] / (P (t)) = L,

el anillo cociente del anillo de polinomios e] [K por el ideal principal generado por P, es una extensión del campo de K. Hemos L = K (α)

donde α es t módulo (P). Es decir, α es un elemento primitivo de L. Habrá otras opciones β del elemento primitivo en L: para cualquier oferta de este tipo de β tendremos β = F (α), α = G (β),

polinomios con F y G sobre K. De hecho esto se deriva del cociente de la representación anterior. Ahora bien, si Q es el polinomio mínimo de β sobre K, podemos llamar a una transformación de Tschirnhaus Q de P.

Por lo tanto el conjunto de todas las transformaciones de Tschirnhaus es un polinomio irreducible para ser designados por atropellar a todas las formas de cambiar P, L, pero dejando la misma. Este concepto se utiliza en la reducción de quínticas -Jerrard forma Traiga , por ejemplo. Hay una conexión con la teoría de Galois , cuando L es una extensión de Galois de K. El grupo de Galois es descrito a continuación (en un sentido) como todas las transformaciones de Tschirnhaus P a sí mismo.