Criterio de d'Alembert

Criterio de d'Alembert

Criterio de d'Alembert

El Criterio de d'Alembert se utiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie de términos positivos cualquiera.

Definiendo con "n" a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que si llamamos L al límite para "n" tendiendo a infinito de An+1/An se obtiene un número L, con los siguientes casos:

  • Si L<1, An converge.
  • Si L>1, An diverge.
  • Si L=1, el criterio no dice nada y es necesario calcular el límite de otro modo.

El criterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera:

Sea: \sum_0^{\infty}f(n)

Tal que:

  • f(n)>0 (o sea una sucesión de terminos positivos) y
  • f(n) tienda a cero cuando n tiende a infinito (condición necesaria de convergencia)

Se procede de la siguiente manera:

\lim_{n \to \infty}\frac{f(n+1)}{f(n)}=L con n tendiendo a infinito.

Así obtenemos L y se clasifica de la siguiente manera:

  • L < 1 la serie converge
  • L > 1 la serie diverge
  • L = 1 el criterio no sirve hay que aplicar otro criterio.

Ejemplo

Sea: f(n)=\frac{n+1}{n!}

Clasificar \sum_1^{\infty}f(n)

a)f(n)=\frac{n+1}{n!} > 0

b) \frac{n+1}{n!} tiende a cero conforme crece n (porque el factorial siempre es mayor)

c) Aplicando D'Alembert:

L=\lim_{n \to \infty}\frac{f(n+1)}{f(n)} = \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{n+2}{(n+1)!}}{\frac{n+1}{n!}} = \lim_{n \to \infty}\frac{n+2}{(n+1)!}\frac{n!}{(n+1)}=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+2)}{(n+1)^2} =\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)+1}{(n+1)^2} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2}\right)=0

y como L<1, la serie \sum_1^{\infty}f(n) converge.

Véase también

  • Jean Le Rond d'Alembert
Obtenido de "Criterio de d%27Alembert"

Wikimedia foundation. 2010.

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