Serie convergente

En matemáticas, una serie se llama serie convergente si la sucesión de sumas parciales tiene un límite en el espacio considerado. De otro modo se llama serie divergente.

Contenido

1 Definición formal
2 Ejemplos
3 Convergencia absoluta
4 Series numéricas
5 Criterios de convergencia
- 5.1 Series de reales positivos
6 Otros métodos
7 Criterios de convergencia comparativos
- 7.1 Criterio de comparación directa
- 7.2 Criterio de comparación por paso al límite del cociente
8 Teorema de Abel
9 Véase también
10 Referencias

Definición formal

Las series consideradas son numéricas (con términos reales o complejos) o vectoriales (con valores en un espacio vectorial normado).

La serie de término general $a n$ converge cuando la sucesión $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de sumas parciales converge, donde para todo entero natural n,

$A_n=\sum_{k=0}^n a_k$ .

En este caso la suma de la serie es el límite de la sucesión de sumas parciales

$\sum_{k=0}^{+\infty} a_k = \lim_{n\to +\infty} A_n$ .

La naturaleza de convergencia o no-convergencia de una serie no se altera si se modifica una cantidad finita de términos de la serie.

Ejemplos

Alternar los signos de los enteros impares produce una serie convergente (Serie de Leibniz):

${1 \over 1}-{1 \over 3}+{1 \over 5}-{1 \over 7}+{1 \over 9}-{1 \over 11}+\cdots = {\pi \over 4}.$
Los recíprocos de los números triangulares produce una serie convergente:

${1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+{1 \over 21}+\cdots = 2.$
Los recíprocos de los números factoriales produce una serie convergente:

$\frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \cdots = e.$
Los recíprocos de los cuadrados de un número produce una serie convergente (Problema de Basilea):

${1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots = {\pi^2 \over 6}.$
Los recíprocos de las potencias de 2 produce una serie convergente:

${1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots = 2.$
Alternar los signos de las potencias de 2 también produce una serie convergente:

${1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 4}-{1 \over 8}+{1 \over 16}-{1 \over 32}+\cdots = {2\over3}.$
Los recíprocos de los números de Fibonacci produce series convergentes (véase ψ):

$\frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8} + \cdots = \psi.$
La serie armónica alternada produce una serie convergente:

$\sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k} = \ln 2$

Convergencia absoluta

Artículo principal: Convergencia absoluta

Si $\sum a_n$ es une serie a valores en un espacio vectorial normado completo, se dice que es absolutamente convergente si la serie de término general $\|a_n\|$ es convergente.

En este caso, la serie $\sum a_n$ converge.

Series numéricas

En el caso de series numéricas, o a valores en un espacio de Banach, es suficiente con probar la convergencia absoluta de la serie para probar que es convergente, lo cual permite restringir el estudio a las series de términos positivos; para ello existen numerosos métodos, basados en el principio de comparación.

Criterios de convergencia

Series de reales positivos

Criterio de d'Alembert (criterio del cociente, criterio de la razón): sea $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ una serie de términos estrictamente positivos; si

$\lim_{k \rightarrow \infty} \frac {a_{k+1}}{a_k}=L\in[0, +\infty]$ ,

entonces el Criterio de D'Alembert establece que si $L < 1$ , la serie converge.

Criterio de la raíz: si los términos $a_n\,$ son estrictamente positivos y si existe una constante $C < 1\,$ tal que $(a_n)^{\frac{1}{n}} \le C$ , entonces $\sum a_n$ es convergente.

Criterio de Raabe: sea una serie $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ , tal que $a k > 0$ (serie de términos positivos). Si existe el límite

$\lim_{k \rightarrow \infty} k \left ( 1 - \frac {a_{k+1}}{a_k} \right )=L$ , siendo $L \, \in \, (-\infty , +\infty )$

entonces, si $L > 1$ la serie es convergente y si $L < 1$ la serie es divergente.

Criterio de la integral de Cauchy: si f(x) es una función positiva y monótonamente decreciente definida en el intervalo

[1, ∞) tal que f(n) = a_n para todo n, entonces $\textstyle \sum{a_n}$ converge si y sólo si $\textstyle \int_1^\infty f(x)\,dx$ es finita.

Más generalmente, y para el tipo de función definida antes, pero en un intervalo [N,∞), la serie

$\sum_{n=N}^\infty f(n)$

converge si y sólo si la integral

$\int_N^\infty f(x)\,dx$

converge.

Otros métodos

Criterio de Cauchy: una serie a valores en un espacio vectorial normado completo es convergente si y solo si la sucesión de sumas parciales es de Cauchy:

$\forall \varepsilon>0, \exists N \in {\mathbb N}, \forall n \geq N, \forall p\in {\mathbb N}, \left\|u_{n+1}+\dots + u_{n+p}\right\|<\varepsilon$ .

Criterio de condensación de Cauchy: sea $\sum{a_n}$ una serie monótona de números positivos decrecientes. $\sum_{n=1}^\infty {a_n}$ converge si y sólo si la serie

$\sum_{n=1}^\infty {2^na_{2^n}}$ converge.

Criterio de Leibniz: una serie de la forma $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n{a_n}$ (con $a n > 0$ ) se llama serie alternada. Tal serie converge si se cumplen las siguientes condiciones:

a) $\lim_{k \rightarrow \infty} (-1)^na_k= 0$ para n par y n impar.

b) La serie tiene que ser absolutamente decreciente es decir que: $|{a_k}|\ge|a_{k+1}|$ .

Si esto se cumple, la serie $\sum_{n=1}^\infty {a_n}$ es condicionalmente convergente, de lo contrario la serie diverge.

Nota: Se debe descartar primero la convergencia absoluta de $\sum_{n=1}^\infty |{a_n}|$ antes de aplicar este criterio, usando los criterios para series positivas.

Criterios de convergencia comparativos

Son aplicables en caso de disponer de otra serie $\sum(b_n)$ tal que se conozca su condición de convergencia o no-convergencia.

Criterio de comparación directa

(de la mayorante o de Gauss)

Si $0 < a_n \le b_n , \forall n \ge n_0$

Si $\sum(b_n)$ converge $\Rightarrow \sum(a_n)$ converge
Si $\sum(a_n)$ diverge $\Rightarrow \sum(b_n)$ diverge

Criterio de comparación por paso al límite del cociente

Sean $\sum_{n=1}^\infty {a_n}$ y $\sum_{n=1}^\infty {b_n}$ series de términos no negativos. Si existe

$\lim_{n \rightarrow \infty} \left ( \frac {a_{n}}{b_n} \right )=L \in \, [0 , +\infty ) \cup \{+\infty\}$ , entonces:

Si $L<+\infty$ y la serie $\sum(b_n)$ converge entonces $\sum(a_n)$ converge.
Si $0<L\$ y $\sum(b_n)$ diverge entonces $\sum(a_k)$ diverge.
Si $0<L<+\infty$ entonces las series $\sum_{n=1}^\infty {a_n}$ y $\sum_{n=1}^\infty {b_n}$ comparten la misma condición (ambas convergen, o bien ambas son divergentes).

Teorema de Abel

Sea $\sum x_n$ une serie compleja donde $\forall n \in \N, x_n = \alpha_n u_n$ tales que:

La sucesión $(\alpha_n)_{n\in\N}$ es real, decreciente y tiende a 0.
$\exists M\in\R$ tal que $\forall n \in \N, \left| \sum_{k=0}^n u_k \right| \le M$ .

Entonces $\sum x_n$ es convergente.

Véase también

Referencias

Weisstein, Eric W. «ConvergentSeries» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
Apuntes (Universidad de Zaragoza).

Categoría:

Series matemáticas

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