Espiral de Sacks, mostrando ciertos patrones que poseen los números primos.

La espiral de Sacks es una variante de la espiral de Ulam y fue descubierta en 1994 por Robert Sacks. Se diferencia de la espiral de Ulam por tres características: los puntos se ubican sobre una espiral de Arquímedes en vez de sobre una espiral cuadrada como utilizó Ulam, se ubica el cero en el centro del espiral, y se realiza un giro completo para cada cuadrado perfecto mientras que en la espiral de Ulam se ubican dos cuadrados cuadrados por giro o rotación. Algunas curvas que comienzan en el origen parecen tener una gran densidad de números primos; una de estas curvas por ejemplo contiene números del tipo n² + n + 41, que es un famoso polinomio abundante en números primos que descubriera Leonhard Euler en 1774. Se desconoce hasta que punto las curvas de la espiral permiten predecir grandes números primos o compuestos.

Construcción

La posición de cada número natural se representa mediante coordenadas polares por:

donde a representa un número de rotaciones, y no un ángulo en radianes ni en grados.

Algunas alineaciones de interés

• Alineaciones libres de números primos:
  • Semirrecta horizontal derecha: cuadrados perfectos
  • Línea inmediatamente inferior: números de la forma n² - 1, divisibles siempre por n+1 y n-1
  • Semirrecta horizontal izquierda: números de la forma n² + n, divisibles siempre por n y n+1.

• Curvas aparentemente densas en números primos:
  • Una espiral que, en la ilustración, termina cerca de la parte inferior del disco: números de la forma n² + n + 41, el polinomio descubierto por Euler.
  • Otra espiral situada 24 lugares por encima de la anterior: números de la forma n² + n + 17
  • Línea inmediatamente superior a la semirrecta horizontal izquierda: números de la forma n² + n - 1

Referencias

• Hahn, Harry K. (2008), The distribution of prime numbers on the square root spiral, ArXiv 0801.1441 

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Enlaces externos

• Sitio web de Robert Sacks
• Artículo sobre la espiral numérica de Sacks