Gravimetría (geofísica)

Para otros usos de este término, véase Gravimetría.

La gravimetría consiste en la medición del campo de gravedad. Se suele emplear cuando el objeto de estudio es el campo de gravedad o las variaciones de densidad responsables de su variación.

Contenido

1 Unidades de medida
2 Gravímetros
- 2.1 Péndulos
  - 2.1.1 Péndulo matemático
  - 2.1.2 Péndulo físico
3 Véase también

Unidades de medida

La gravedad se suele medir en unidades de aceleración. En el sistema SI la unidad de aceleración corresponde a 1 metro por segundo al cuadrado (simbolizándose: m/s²). También puede expresarse en las unidades propias del campo gravitatorio, es decir en Newton por kilogramo (N/kg). Otra unidad empleada, sobre todo en gravimetría, es el gal que equivale a 1 centímetro por segundo al cuadrado (cm/s²).

Gravímetros

Un péndulo simple puede ser empleado como instrumento de medición de la aceleración de la gravedad.

Los instrumentos empleados para realizar mediciones de la gravedad se denominan gravímetros o gradiómetros. La mayor parte de los gravímetros emplean resortes cuyo efecto se opone a la fuerza de gravedad que actúa sobre una masa. Existen dos clases de gravímetros:

Gravímetros absolutos: permiten conocer el valor de g directamente mediante la determinación de una longitud y/o un tiempo.

Gravímetros relativos: estos instrumentos únicamente permiten conocer la diferencia relativa de g entre dos puntos o entre dos tiempos.

Péndulos

Son los gravímetros más antiguos y pueden ser tanto relativos como absolutos.

Péndulo matemático

Un péndulo matemático es un péndulo ficticio. Está formado por una masa puntual m sujeta por un hilo de masa despreciable y longitud l, que puede oscilar sin fricción en torno a su punto de suspensión o pivote. El movimiento de la masa está restringido a describir un arco circular alrededor del punto de equilibrio. La coordenada para un punto de la trayectoria es $s = l Φ$ , donde $Φ$ es el ángulo de deflección del hilo.

La atracción de la gravedad g ejerce una fuerza sobre la masa. Si la masa no se encuentra en equilibrio existirá una componente tangencial $g s i n (Φ)$ dirigida hacia la posición de equilibrio. La aceleración de la masa se puede obtener derivando dos veces $s = l Φ$ . La ecuación de movimiento resulta:

$\ddot{s}=l \ddot{\Phi}=-g sin( \Phi) \approx -g \Phi \Leftrightarrow \ddot{\Phi}+\frac{g}{l} \Phi \approx 0$

donde se utilizó la aproximación para ángulos pequeños. Esta ecuación corresponde a la de un oscilador armónico. Su solución general es $Φ(t) = a c o s (ω t) + b s i n (ω t)$ . En este caso es importante la expresión de la frecuencia $ω$ que es la base de las mediciones de gravedad:

$\omega = \frac{2 \pi}{T}= \sqrt{\frac{g}{l}}$

Por lo tanto es posible conocer el valor de g simplemente conociendo la longitud del péndulo y su período de oscilación:

$g=l \omega^2 = l \frac{4 \pi^2}{T^2}$

Una determinación de g llevada a cabo de esta forma representaría una medición absoluta.

A partir de esta expresión es posible estimar los errores absolutos y relativos al calcular g.

El error absoluto será:

$dg=- \frac{2}{T} {\left( \frac{2 \pi}{T} \right)}^2 l dT+{\left( \frac{2 \pi}{T} \right)}^2 dl$

El error relativo estará dado por:

$\frac{dg}{g}=-2 \frac{dT}{T}+ \frac{dl}{l}$

Si se desea incluir en la expresión de g la deflexión inicial $Φ 0$ , no deben ser despreciados los términos no lineales en $\ddot{\Phi}+\frac{g}{l} \Phi \approx 0$ . La forma de resolver esta última ecuación incluyendo los términos no lineales es mediante integrales elípticas. El período de oscilación resulta:

$T = 2 \pi \sqrt{\frac{g}{l}}(1+ \frac{\Phi^2_0}{16}+...)$

Péndulo físico

Véase también

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Geofísica

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