Grupo circular

Grupo circular

El grupo circular o U(1) es el conjunto de puntos en un círculo de radio uno. Desde el punto de vista algebraico, S1, es un grupo donde la operación binaria es inducida por la multiplicación de los números complejos es decir, si z=e^{i\alpha}, w=e^{i\beta}\, entonces zw=e^{i(\alpha+\beta)}\,.

Es un hecho básico que este grupo puede ser representado linealmente mediante matrices ortogonales:

\begin{bmatrix} \cos t & -\sin t \\ \sin t & \cos t \end{bmatrix}

con estos objetos el conjunto recibe el símbolo U(1)\, también conocido como grupo especial unitario, matrices de determinante igual a 1 y cuya matriz inversa (inverso multiplicativo) es su transpuesta. Esto es por ser matrices de 1\times 1 de entrada compleja

e^{i\theta}\cong \begin{bmatrix} \cos t & -\sin t \\ \sin t & \cos t \end{bmatrix}

aquí el sentido de la equivalencia es de homomorfismo de grupos. El símbolo SO(2)\, representa el conjunto de estas matrices de 2 \times 2 cuyo determinante es igual a uno (SO(2):=\{A \in \mathcal{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}): det(A)=1\}). El conjunto SO(2)\, también es isomorfo a U(1)\,.


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