- Grupo de Prüfer
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El 2-grupo de Prüfer. <gn: gn+12 = gn, g12 = e>
En matemáticas, y en especial en teoría de grupos, el p-grupo de Prüfer, grupo p-cuasicíclico o el p∞-grupo, Z(p∞), para un número primo p es el único p-grupo en el que cada elemento tiene p p-ésimas raíces. El grupo se llama en honor a Heinz Prüfer. Es un grupo abeliano numerable que juega un importante papel en la clasificación de grupos abelianos infinitos.
El p-grupo de Prüfer puede ser representado como un subgrupo del grupo circular, U(1), como el conjunto de las pnésimas raíces de la unidad con n que se extiende sobre todos los enteros no negativos:
Alternativamente, el p-grupo de Prüfer puede ser visto como el p-subgrupo de Sylow de Q/Z, que consiste en aquellos elementos cuyo orden es una potencia de p:
Hay una presentation (escrita aditivamente)
El p-grupo de Prüfer es el único p-grupo infinito que es localmente cíclico (cada conjunto finito de elementos genera un grupo cíclico).
El p-grupo Prüfer es divisible.
En el lenguaje del álgebra universal, un grupo abeliano es subdirectamente irreducible si y sólo si éste es isomorfo a un p-grupo finito o isomorfo a un grupo de Prüfer.
En la teoría de grupos topológicos localmente compactos el p-grupo de Prüfer (dotado con la topología discreta) es el dual de Pontryagin del grupo compacto de los enteros p-ádicos, y el grupo de enteros p-ádicos es el dual de Pontryagin dual del p-grupo de Prüfer.[1]
Los p-grupos de Prüfer para todos los primos p son los únicos grupos infinitos cuyos subgrupos son totalmente ordenados por inclusión. Como no hay un subgrupo máximo de un p-grupo de Prüfer, éste es su propio subgrupo de Frattini.
Esta sucesión de inclusiones expresa al p-grupo de Prüfer como el límite directo de sus subgrupos finitos.
Como un
-módulo, el p-grupo de Prüfer es artiniano, pero no noetheriano, y del mismo modo, como grupo, es artiniano pero no noetheriano.[2] [3] Por lo tanto, se puede utilizar como un contraejemplo en contra de la idea de que cada módulo artiniano es noetheriano (considerando que todo anillo artiniano es noetheriano).Véase también
- Enteros p-ádicos, los cuales pueden definirse como el límite inverso de los subgrupos finitos del p-grupo de Prüfer.
- Fracción diádica, números racionales de la forma a/2b. El 2-grupo de Prüfer puede ser visto como las fracciones diádicas módulo 1.
Notas
- ↑ D. L. Armacost and W. L. Armacost, "On p-thetic groups", Pacific J. Math., 41, no. 2 (1972), 295–301
- ↑ Los subgrupos de un grupo abeliano son abelianos, y coinciden con los submódulos como en un -módulo.
- ↑ Véase también Jacobson (2009), p. 102, ex. 2.
Referencias
- Basic algebra, 2 (2nd edición), Dover, 2009, ISBN 978-0-486-47187-7
- Pierre Antoine Grillet (2007). Abstract algebra. Springer. ISBN 9780387715674.
- Quasicyclic group en PlanetMath
- N.N. Vil'yams (2001), «Quasi-cyclic group», en Hazewinkel, Michiel (en inglés), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
![\mathbf{Z}(p^\infty) = \mathbf{Z}[1/p]/\mathbf{Z}.](8/d38104115828de652831a1b4b04866f0.png)
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