- Lema de Borel-Cantelli
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En la teoría de las probabilidades, medida e integración, el lema de Borel-Cantelli asegura la finitud en casi todos los puntos de la suma de funciones integrables positivas si es que la suma de sus integrales es finita.
Definición formal y demostración
Sea
una sucesión de funciones positivas medibles desde el espacio de medida
en los reales.
es la medida. Sea
la integral de f respecto de
. Supongamos que:
entonces por convergencia monótona
. Por ende la función
es finita c.t.p.-
.
Si la sucesión de funciones son indicatrices de conjuntos
en
, o sea
y la medida
es de probabilidad entonces:
implica que
c.t.p.-
, es decir, en
, el conjunto de los puntos que pertenecen a infinitos
tiene probabilidad cero.
Bibliografía
- David Pollard, A user´s guide to measure theoretic probability, Cambridge University Press (2003).
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