Lema de Borel-Cantelli

Lema de Borel-Cantelli

En la teoría de las probabilidades, medida e integración, el lema de Borel-Cantelli asegura la finitud en casi todos los puntos de la suma de funciones integrables positivas si es que la suma de sus integrales es finita.

Definición formal y demostración

Sea \{f_n\}\, una sucesión de funciones positivas medibles desde el espacio de medida (\Omega,\mathcal{A},\mu) en los reales. \mu\, es la medida. Sea \mu f\, la integral de f respecto de \mu\,. Supongamos que:

\sum_n \mu f_n<\infty

entonces por convergencia monótona \mu \sum_n f_n=\sum_n \mu f_n<\infty. Por ende la función \sum_n f_n \, es finita c.t.p.-\mu\,.

Si la sucesión de funciones son indicatrices de conjuntos A_n\, en \mathcal{A}\,, o sea f_n=\chi_{A_n} y la medida \mathbb{P} es de probabilidad entonces: \sum_n\mathbb{P}A_n<\infty implica que \sum_n\chi_{A_n}<\infty c.t.p.-\mu\,, es decir, en \Omega\,, el conjunto de los puntos que pertenecen a infinitos A_n\, tiene probabilidad cero.

Bibliografía

  • David Pollard, A user´s guide to measure theoretic probability, Cambridge University Press (2003).

Wikimedia foundation. 2010.

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