Ley de Laplace

La ley de Laplace (en honor del físico y matemático francés Pierre Simon Laplace) a veces llamada Ley de Laplace-Young (por Thomas Young) es una ley física que relaciona el cambio de presiones en la superficie de un fluido con las fuerzas de línea debidas a efectos moleculares.

En su forma más general se puede expresar como:

Donde ΔP es el salto de presión entre superficies (siempre mayor en el lado cóncavo), σ=Tensión superficial y ambas R son los dos radios de curvatura posibles. A veces se usa H = , siendo H la curvatura de la superficie.

Habitualmente se trabaja con conductos cilíndricos (vasos sanguíneos, probetas, tuberías...) o esféricos (gotas, pompas...), por lo que ambos radios coinciden y la ecuación se puede simplificar a la forma más usual:

Se trata de una ecuación de interés físico para explicar la forma de las burbujas que forma un fluido inmiscible en otro y los meniscos que forman los fluidos en probetas. A través de estos últimos permite explicar el fenómeno de la capilaridad. Es de particular importancia en medicina^[1] donde permite explicar varios mecanismos respiratorios y cardiovasculares.

Historia

Thomas Young desarrolló en 1805 la explicación cualitativa del fenómeno, que sería justificado matemáticamente y cuantitativamente por Laplace un año después de forma independiente. Sería Carl Friedrich Gauss quien en 1830 unificara el trabajo de ambos y desarrollara las ecuaciones diferenciales y las condiciones de contorno asociadas usando el principio de las potencias virtuales, lo que hace que algunos autores hablen de la ecuacion de Young-Laplace-Gauss.^[2]

Consideraciones previas

Causas del fenómeno

Todas las moléculas de un medio fluido interaccionan entre sí, dando una resultante total nula para una partícula completamente rodeada de semejantes. Sin embargo, las superficies de los límites del volumen fluido solo sufren este efecto en uno de sus lados, lo que hace que pueda haber una resultante diferente de cero.

En el caso de una superficie de entrefase plana, la resultante sigue siendo cero, pues los desequilibrio se siguen anulando por la simetría. Sin embargo, en una superficie curva aparecen descompensaciones: las moléculas tienen mas vecinas en una dirección y se sienten más atraídas por las fuerzas de cohesión hacia dicha dirección.

Consideraciones dimensionales

Las fuerzas involucradas en la superficie del líquido se expresan como fuerzas por unidad de longitud, siendo su unidad en el Sistema Internacional el Newton/Metro. Sin embargo, la fuerza puede definirse como energía por unidad de longitud, lo que hace esa formulación equivalente a una de energía por unidad de superficie. Esto permite, como se usará en el apartado de las gotas, ver los efectos de la ley de Laplace como una expresión de la energía que cuesta formar la superficie de la interfase.

Ángulo de contacto

Ángulos de contacto respectivamente se tiene el caso del agua, un fluido que no genera menisco y un caso que se comporta como el mercurio.

Si bien la ley de Laplace permite ver fácilmente el comportamiento entre dos fases fluidas, cuando se analiza el problema del menisco se complica la resolución por la presencia de múltiples interacciones. En la región donde se produce el menisco hay fuerzas atractivas entre las partículas fluidas del líquido, entre estas y las del aire y entre ellas y el sólido que forma el recipiente. Para simplificar el cálculo, se tienen tabulados los llamados ángulos de contacto que indican la inclinación que forma el menisco. El más habitual, el del agua con el vidrio es 0º, mientras que la contraposición habitual en los manuales de texto, el mercurio, tiene 140º. Coloquialmente se ha hablado en mecánica de fluidos de fluidos que "mojan" (como el agua) y los que "no mojan" (como el mercurio).

Aplicaciones

Capilaridad

Efectos de la capilaridad.

Si se combina el salto de presiones que generan las fuerzas de la tensión superficial con el gradiente de presión de una columna fluida en reposo (donde la presión varía con la altura en función de ρgh) en un conducto circula se llega a la Ley de Jurin (así llamada por el botánico James Jurin):

donde:

= tensión superficial interfacial (N/m)

θ = ángulo de contacto

ρ = densidad del líquido (kg/m³)

g = aceleración debida a la gravedad (m/s²)

r = radio del tubo (m)

h = altura que alcanza la línea de contacto del fluido con el tubo (m)

En la imagen se pueden ver las consecuencias de esta ley. La superficie externa del fluido se encuentra a la presión atmosférica. El salto de presiones en el menisco lleva a un cambio de altura para que el fluido se mantenga en equilibrio. Los efectos del ángulo de contacto llegan a cambiar el sentido de la columna cuando el coseno cambia de signo. Los dos conductos en el agua muestran el efecto del radio del conducto: a mayor radio, menor curvatura y menos presión empuja el líquido por Laplace, generando una columna de líquido menor por Jurin.

Este fenómeno se encuentra presente en el transporte de líquidos en plantas, el efecto del agua en suelos y aplicaciones tecnológicas

Análisis teórico de una gota

Ahora, supongamos una gota de la fase α dentro de otra fase β. Podemos pensar, por ejemplo, en una gota de líquido cayendo libremente en el aire. Si su tamaño y densidad no son grandes, los efectos gravitatorios son pequeños y pueden no tenerse en cuenta. El mismo análisis puede realizarse a la inversa, para una gota de aire en un líquido o para una gota de un líquido en otro.

La gota tenderá a disminuir su superficie adoptando la forma esférica pues como se ha mencionado la tensión puede verse como la energía necesaria para crear una unidad de superficie y la esfera tiene la menor superficie por unidad de volumen.

El caso de una burbuja de agua en el aire es ligeramente distinto. Se dan dos superficies de contacto entre el agua y el aire, una en el interior de la burbuja y otra en el exterior. Haciendo el equilibrio de fuerzas^[3] llegamos a:

donde la variación de presión se produce entre el exterior y el interior de la burbuja.

Medicina

Es de particular utilidad en medicina para ilustrar la presión necesaria para mantener el alveolo sin colapsarse. Debido a la existencia del fluido surfactante que rodea el interior del alveolo, previene que éste se colapse. La presión necesaria para evitar que el alveolo se colapse como consecuencia de la tensión superficial alveolar es proporcional a dicha tensión superficial e inversa al radio del alveolo. Tal es la ecuación de la Ley de Laplace.

La ley de Laplace también tiene una participación importante en la estenosis aórtica. La estenosis aórtica implica un gradiente de presión entre el ventrículo izquierdo (VI) y la aorta (Ao). Esto causa una sobrecarga de presión para el VI que debe vencer dicha dificultad de vaciamiento, y además causa un estrés sobre la pared ventricular la cual desencadena una hipertrofia concéntrica del VI y un proceso de remodelación ventricular por acúmulo de fibrosis por colágeno.

Referencias

• Física. Joseph W. Kane, Morton M. Sternheim. 2ª ed. Editorial Reverté, 2004. ISBN: 8429143181. Pág. 336-337]
• [2]