Método de Bairstow

Método de Bairstow: En análisis numérico, el método de Bairstow es un algoritmo eficiente de búsqueda de las raíces de un polinomio real de grado arbitrario. Es un método iterativo, basado en el método de Müller y de Newton Raphson. Dado un polinonio f_n(x) se encuentran dos factores, un polinomio cuadrático

$\ f_2(x)=x^2-rx-s$ y $\ f_{n-2}(x)$

El procedimiento general para el método de Bairstow es:

Dado $\ f_n(x)$ y $\ r_0$ y $\ s_0$

1.-Utilizando el método de Newton Raphson calculamos $\ f_2(x)=x^2-rx-s$ y $\ f_{n-2}(x)$ , tal que, el residuo de $\,f_n(x)/ f^2(x) ,$ sea igual a cero.

2.-Se determinan la raíces $\ f2(x)$ , utilizando la formula general.

3.-Se calcula $\ f_{n-2}(x)=f_n(x)/f_2(x)$

4.-Hacemos $\ f_n(x)=f_{n-2}(x)$

5.-Si el grado del polinomio es mayor que tres regresamos al paso 2

6.-Si no, terminamos

La principal diferencia de este método, respecto a otros, es que permite calcular todas las raíces de un polinomio (reales e imaginarias).

Para calcular la división de polinomios, hacemos uso de la división sintética. Así dado

$\ f_n(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_0$

Al dividir entre $\ f_2(x)=x^2-rx-s$ , tenemos como resultado el siguiente polinomio

$\ f_(n-2)(x)=b_nx^{n-2}+b_{n-1}x^{n-3}+...+b_3x+b_2$

con un residuo $\, R = b_1 {x-r} + b_0 ,$ , el residuo será cero solo si $\, b_1 y b_0 ,$ lo son.

Los términos b, los calculamos utilizamos división sintética, la cual puede resolverse utilizando la siguiente relación de recurrencia

$\, b_n = a_n ,$

$\, b_{n-1} = a_{n-1} + rb_n ,$

$\, b_i = a_i + rb_{i+1} + sb_{i+2} ,$

Una manera de determinar los valores de r y s que hacen cero el residuo es utilizar el Método de Newton-Raphson. Para ello necesitamos una aproximación lineal de $\ b_1 y b_0 ,$ respecto a r y s la cual calculamos utilizando la serie de Taylor

$\ b_1(r+dr,s+ds)=b_1+\frac{\partial b_1}{\partial r}dr+\frac{\partial b_1}{\partial s}ds$

$\ b_0(r+dr,s+ds)=b_0+\frac{\partial b_0}{\partial r}dr+\frac{\partial b_0}{\partial s}ds$

donde los valores de r y s están dados y calculamos los incrementos dr y ds que hacen a $\ b_1(r+dr, s+ds)$ y $\ b_0(r+dr, s+dr)$ igual a cero. El sistema de ecuaciones que tenemos que resolver es:

$\ \frac{\partial b_1}{\partial r}dr+\frac{\partial b_1}{\partial s}ds=-b_1$

$\ \frac{\partial b_0}{\partial r}dr+\frac{\partial b_0}{\partial s}ds=-b_0$

Bairtow muestra que las derivadas parciales pueden obtener haciendo un procedimiento similar a la división sintética, así

$\ c_n=b_n$

$\ c_{n-1}=b_{n-1}+rc_n$

$\ c_i=b_i+rc_{i+1}+sc_{i+2}$

donde

$\ \frac{\partial b_0}{\partial r}=c_1$

$\ \frac{\partial b_1}{\partial r}=\frac{\partial b_0}{\partial s}=c_2$

$\ \frac{\partial b_1}{\partial s}=c_3$

Sustituyendo término

Análisis del algoritmo

El algoritmo de Bairstow tiene orden de convergencia cuadrático como el método de Newton, excepto en el caso de que el polinomio tenga factores cuadráticos de multiplicidad superior a 1, pudiendo ser el orden de convergencia menor.

Enlaces externos

[http://lc.fie.umich.mx/~calderon/programacion/Mnumericos/Bairstow.html

Algoritmo de Bairstow en Mathworld (en inglés)

Cálculo interactivo de raíces polinomiales utilizando el Método de Bairstow en savetman.com (en inglés)

Determinación de las raíces de polinomios (gr(P)<= 10) utilizando el Método de Bairstow (en inglés)

LinBairstowSolve, implementación de código libre en C++ del Método de Lin-Bairstow, disponible como método de la librería VTK (en inglés)

Descripción en español del método de Bairstow con ejemplos (Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo)

Categorías:
Algoritmos de búsqueda de raíces
Polinomios

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