Seminorma

Seminorma: Una seminorma es una norma vectorial que se define a partir de un producto escalar el cual no es definido positivo o se dice que es semiescalar.

Definición

Sea V un espacio vectorial real. Llamamos producto semiescalar sobre $V\times V$ al mapeo $\{x,y\}\in V\times V\to((x,y))\in R$ tal que satisface las siguientes condiciones

i. $((\sum_{i=1}^n\lambda^ix_i,y))=\sum_{i=1}^n\lambda^i((x_i,y))$ , linealidad respecto a $x$

ii. $((x,\sum_{j=1}^m\mu^jy_j))=\sum_{j=1}^m\mu^j((x,y_j))$ , linealidad respecto a $y$

iii. $((x, y)) = ((y, x))$ , simetría

iv. $((x, x)) > = 0$ para toda $x\in V$ , positividad.

Si $((x, y))$ es un producto semiescalar entonces $||x||=\sqrt{((x,x))}$ es una seminorma. Y será una norma si $((x, y))$ es un producto escalar con la condición (iv) $((x, x)) > 0$ , es decir definida positiva.

Referencias

Applied Functional Analysis. Second Edition Jean-Pierre Aubin. Wiley Inter-Science.

Categoría:
Vectores

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