Seminorma

Seminorma

Una seminorma es una norma vectorial que se define a partir de un producto escalar el cual no es definido positivo o se dice que es semiescalar.

Definición

Sea V un espacio vectorial real. Llamamos producto semiescalar sobre V\times V al mapeo \{x,y\}\in V\times V\to((x,y))\in R tal que satisface las siguientes condiciones

i. ((\sum_{i=1}^n\lambda^ix_i,y))=\sum_{i=1}^n\lambda^i((x_i,y)), linealidad respecto a x

ii. ((x,\sum_{j=1}^m\mu^jy_j))=\sum_{j=1}^m\mu^j((x,y_j)), linealidad respecto a y

iii. ((x,y)) = ((y,x)), simetría

iv. ((x,x)) > = 0 para toda x\in V, positividad.

Si ((x,y)) es un producto semiescalar entonces ||x||=\sqrt{((x,x))} es una seminorma. Y será una norma si ((x,y)) es un producto escalar con la condición (iv) ((x,x)) > 0, es decir definida positiva.

Referencias

  • Applied Functional Analysis. Second Edition Jean-Pierre Aubin. Wiley Inter-Science.

Wikimedia foundation. 2010.

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