Teorema de Hahn–Banach

Teorema de Hahn–Banach

En matemáticas, el teorema de Hahn–Banach es una herramienta importante en análisis funcional. Permite extender cualquier operador lineal acotado definido en un subespacio vectorial al espacio vectorial que lo contiene. Debe su nombre a Hans Hahn y Stefan Banach quienes probaron este teorema independientemente en la década de 1920.

El teorema aparece en la literatura en formas diversas, tanto analíticas como geométricas.

El teorema de Hahn-Banach (forma analítica)

Un funcional sublineal en un espacio vectorial V sobre un cuerpo \scriptstyle\mathbb{K} (que puede ser los números reales \scriptstyle\mathbb{R} o complejos \scriptstyle\mathbb{C}) es una función \scriptstyle p:V\rightarrow\mathbb{R} que verifica:

p(ax+by)\leq|a|p(x) + |b|p(y)\qquad\forall x,y\in V\quad\forall a,b\in\mathbb{K}.

Ejemplos de sublineales son cualquier norma vectorial y seminorma.

Entonces la forma analítica del teorema de Hahn–Banach establece que si \scriptstyle p:V\rightarrow\mathbb{K} es un funcional sublineal, y \scriptstyle f:S\rightarrow\mathbb{K} es un funcional lineal definido en un subespacio vectorial S de V que está acotado por \scriptstyle p sobre S i.e.

| f(x)|\leq p(x)\qquad\forall x \in S

entonces existe una extensión lineal \hat{f}:V\rightarrow\mathbb{K} de f a todo el espacio V i.e. existe un funcional lineal \hat{f} tal que

\hat{f}(x) = f(x)\qquad\forall x\in S

y

|\hat{f}(x)|\leq p(x)\qquad\forall x\in V.

La extensión \hat{f} no es en general única y la demostración, que utiliza el lema de Zorn, no da ningún método para encontrar \hat{f}.

Consecuencias

El teorema tiene numerosas consecuencias, que a veces se llaman también "teorema de Hahn-Banach":

  • Hahn-Banach para espacios normados. Cualquier funcional lineal continuo f definido en un subespacio de un espacio vectorial normado tiene una extensión continua \hat{f} a todo el espacio tal que la funcional y su extensión tienen la misma norma.
  • Hahn-Banach (primera forma geométrica). Sean A y B dos subconjuntos convexos, no vacíos y disjuntos de un espacio vectorial normado sobre \scriptstyle\mathbb{R}, siendo al menos uno de los dos subconjuntos abiertos. Entonces existe un hiperplano cerrado que separa A y B en sentido amplio.
  • Hahn-Banach (segunda forma geométrica). Sean A y B dos subconjuntos convexos, no vacíos y disjuntos de un espacio vectorial normado sobre \scriptstyle\mathbb{R}, siendo al menos uno de los dos subconjuntos cerrado y el otro compacto. Entonces existe un hiperplano cerrado que separa A y B en sentido estricto.

Referencias

  • Brézis, Haïm (1984). Análisis funcional: Teoría y aplicaciones. Alianza Editorial. 

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Mira otros diccionarios:

  • Espacio de Banach — Saltar a navegación, búsqueda En matemáticas, los espacios de Banach, llamados así en honor de Stefan Banach, son uno de los objetos de estudio más importantes en análisis funcional. Los espacios de Banach son típicamente espacios de funciones de …   Wikipedia Español

  • Hans Hahn — ( * 27 de septiembre de 1879 – 24 de julio de 1934), fue un matemático austriaco que hizo múltiples contribuciones al análisis funcional, a la topología, a la teoría de conjuntos, al cálculo de variaciones, al análisis real y a la teoría del… …   Wikipedia Español

  • Límite de Banach — En análisis matemático, un límite de Banach es un funcional lineal continuo definido sobre el espacio de Banach para toda sucesión acotada de números complejos tales que para sucesiones x = (xn) y y = (yn) cualesquiera, se cumplen las siguientes… …   Wikipedia Español

  • Anexo:Matemáticos importantes — En esta lista de matemáticos importantes se presenta una selección de matemáticos desde la antigüedad hasta el presente. La selección se orienta por los aportes científicos, utilizando como criterio para definir el grado de notoriedad la atención …   Wikipedia Español

  • Análisis funcional — Saltar a navegación, búsqueda Para otros usos de este término, véase Análisis funcional (desambiguación). El análisis funcional es la rama de las matemáticas, y específicamente del análisis, que trata del estudio de espacios de funciones. Tienen… …   Wikipedia Español

  • Axioma de elección — Saltar a navegación, búsqueda En matemáticas, el axioma de elección o axioma de escogencia, abreviado usualmente AE, o AC por sus siglas en inglés, es un axioma de la teoría de conjuntos. Intuitivamente, AE dice que dada una colección de… …   Wikipedia Español

  • Lema de Zorn — El lema de Zorn, también llamado de Kuratowski Zorn, es una proposición de la teoría de conjuntos que afirma lo siguiente: Todo conjunto parcialmente ordenado no vacío en el que toda cadena (subconjunto totalmente ordenado) tiene una cota… …   Wikipedia Español

  • Espacio localmente convexo — Saltar a navegación, búsqueda En análisis funcional y en áreas relativas a las matemáticas, espacios vectoriales topológicos localmente convexos ó espacios localmenete convexos son ejemplos de espacios vectoriales topológicos los cuales… …   Wikipedia Español

  • Función localmente convexa — En análisis funcional y en áreas relativas a las matemáticas, espacios vectoriales topológicos localmente convexos o espacios localmente convexos son ejemplos de espacios vectoriales topológicos los cuales generalizan los espacios normados. Ellos …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”