Sucesión de Goodstein

Este artículo o sección tiene contenido demasiado complejo para lectores que no son expertos en matemáticas.
Si puedes, por favor edítalo y contribuye a hacerlo más accesible para el público general, sin eliminar los detalles técnicos que interesan a los especialistas.

Una sucesión de Goodstein es una sucesión matemática que se obtiene por la aplicación de un operador de salto de base ( $B [b](n)$ ) sobre una semilla dada.

Quizás, antes de entrar a definir la propia sucesión de Goodstein, debiéramos aclarar lo que se entiende por operador de salto de base.

El operador de salto de base es el resultado de la sustitución, en la representación de un número en su forma normal de Cantor en base b, de las ocurrencias de b por b+1.

Así, denotaremos $B [b](n)$ como el resultado de aplicar el operador de salto de base b $B [b]$ al número n.

Por ejemplo:

Con b=2:

$B[b](266)=2^{2^{2+1}} + 2^{2+1} + 2$

Sustituyendo b por b+1:

$B[b+1](266)=3^{3^{3+1}} + 3^{3+1} + 3$

Una vez que tenemos claro este punto, podemos pasar a la definición propiamente dicha de sucesión de Goodstein.

Las sucesiones de Goodstein son sucesiones que comienzan con un número natural cualquiera de partida (que en nuestro ejemplo podría ser n=266). Este sería el primer término de la sucesión, que denotaremos $G 0 (266) = 266$ . El segundo término de la sucesión $G 1 (266)$ se obtiene mediante el operador de salto de base $B [2]$ sobre el primer término, y restando uno al resultado. Es decir: en su forma normal de Cantor, sustituimos cada dos por un tres, y al resultado le restamos la unidad. Así habríamos obtenido la sucesión de Goodstein de semilla igual a 266. Es evidente que, para cada entero de partida tendremos una sucesión de Goodstein diferente.

Veamos los primeros términos de la sucesión de Goodstein para el número 266.

Empezamos con 266. Su forma normal de Cantor es:

$G_0(266) = 2^{2^{2+1}} + 2 ^{2+1} + 2$

Para obtener el segundo término, aplicamos el operador de salto de base y restamos uno:

$G_1(266) = B[2](266) - 1 =3^{3^{3+1}} + 3^{3+1} + 3 - 1 = 3^{3^{3+1}} + 3^{3+1} + 2$

Y continuamos

$G_2(266) = B[3]G_1(266) -1 = 4^{4^{4+1}} + 4^{4+1} + 1$

$G_3(266) = B[4]G_2(266) -1 = 5^{5^{5+1}} + 5^{5+1}$

$G_4(266) = B[5]G_3(266) -1 = 6^{6^{6+1}} + 6^{6+1} -1 = 6^{6^{6+1}} + 5 \cdot 6^6 + 5 \cdot 6 ^5 + \ldots + 5 \cdot 6 + 5$

$G_5(266) = B[6]G_4(266) -1 = 7^{7^{7+1}} + 5 \cdot 7^7 + 5 \cdot 7 ^5 + \ldots + 5 \cdot 7 + 4$

...

Aparentemente esta succión crece indefinidamente y de una forma muy rápida. Pues bien, el Teorema de Goodstein demuestra que para cualquier valor de la semilla, toda sucesión de Goodstein termina en cero.

Ejemplos de sucesiones de Goodstein

Las primeras sucesiones de Goodstein terminan rápidamente. Por ejemplo G(3):

Forma normal	Valor
2+1	3
3+1 − 1 = 3	3
4 − 1 = 1+1+1	3
1+1+1 − 1 = 1+1	2
1+1 − 1 = 1	1
1 − 1 = 0	0

Las siguientes sucesiones de Goodstein parecen crecer muy rápido. Por ejemplo, G(4) empieza de la siguiente forma:

Forma normal	Valor
2²	4
2·3² + 2·3 + 2	26
2·4² + 2·4 + 1	41
2·5² + 2·5	60
2·6² + 6 + 5	83
2·7² + 7 + 4	109
...
2·11² + 11	253
2·12² + 11	299
...

Los elementos de G(4) continúan su crecimiento durente un rato, pero después de aproximadamente 2.6 × 10^60605351 pasos, los elementos empiezan a disminuir, haciéndose finalmente cero. El ejemplo de G(4) no nos proporciona una buena idea de lo rápido que los términos de la sucesión de Goodstein crecen.

G(19) crece mucho más rápidamente, empezando del siguiente modo:

Forma normal	Valor
$2^{2^2}+2+1$	19
$3^{3^3}+3$	7625597484990
$4^{4^4}+3$	aproximadamente 1.3 × 10¹⁵⁴
$5^{5^5}+2$	aproximadamente 1.8 × 10²¹⁸⁴
$6^{6^6}+1$	aproximadamente 2.6 × 10³⁶³⁰⁵
$7^{7^7}$	aproximadamente 3.8 × 10⁶⁹⁵⁹⁷⁴
$7 \times 8^{(7 \times 8^7 + 7 \times 8^6 + 7 \times 8^5 + 7 \times 8^4 + 7 \times 8^3 + 7 \times 8^2 + 7 \times 8 + 7)}$ $+ 7 \times 8^{(7 \times 8^7 + 7 \times 8^6 + 7 \times 8^5 + 7 \times 8^4 + 7 \times 8^3 + 7 \times 8^2 + 7 \times 8 + 6)}$ $+ ... \,\;$ $+ 7 \times 8^{(8+2)} + 7 \times 8^{(8+1)} + 7 \times 8^8 + 7 \times 8^7 + 7 \times 8^6$ $+ 7 \times 8^5 + 7 \times 8^4 + 7 \times 8^3 + 7 \times 8^2 + 7 \times 8 + 7$	aproximadamente 6 × 10^15151335
$7 \times 9^{(7 \times 9^7 + 7 \times 9^6 + 7 \times 9^5 + 7 \times 9^4 + 7 \times 9^3 + 7 \times 9^2 + 7 \times 9 + 7)}$ $+ 7 \times 9^{(7 \times 9^7 + 7 \times 9^6 + 7 \times 9^5 + 7 \times 9^4 + 7 \times 9^3 + 7 \times 9^2 + 7 \times 9 + 6)}$ $+ ... \,\;$ $+ 7 \times 9^{(9+2)} + 7 \times 9^{(9+1)} + 7 \times 9^9 + 7 \times 9^7 + 7 \times 9^6$ $+ 7 \times 9^5 + 7 \times 9^4 + 7 \times 9^3 + 7 \times 9^2 + 7 \times 9 + 6$	aproximadamente 4.3 × 10^369693099
...

Categoría:

Sucesiones de números enteros

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Mira otros diccionarios:

Sucesión de Goodstein — Una sucesión de Goodstein es una sucesión matemática que se obtiene por la aplicación de un operador de salto de base ( ) sobre una semilla dada. Quizás, antes de entrar a definir la propia sucesión de Goodstein, debieramos aclarar lo que se… … Enciclopedia Universal
Sucesión matemática — Este artículo o sección necesita referencias que aparezcan en una publicación acreditada, como revistas especializadas, monografías, prensa diaria o páginas de Internet fidedignas. Puedes añadirlas así o avisar … Wikipedia Español
Teoría de Ramsey — Según la teoría de Ramsey, del total de estrellas del cielo nocturno, siempre podemos seleccionar un subconjunto de ellas para dibujar diferentes objetos como: un triángulo, un cuadrilátero, un paraguas o un pulpo. La teoría de Ramsey, llamada… … Wikipedia Español
Forma normal de Cantor — Saltar a navegación, búsqueda Se dice que un número está expresado en la forma normal de Cantor en base b si lo representamos como suma de potencias de la base b, pero representamos también cada uno de los exponentes como suma de potencias.… … Wikipedia Español
Teoremas de incompletitud de Gödel — Kurt Gödel a los 19 años de edad, cinco años antes de la demostración de los teoremas. Los teoremas de incompletitud de Gödel son dos célebres teoremas de lógica matemática demostrados por Kurt Gödel en 1930. Ambos están relacionados con la… … Wikipedia Español

Los diccionarios y las enciclopedias sobre el Académico

Sucesión de Goodstein

Ejemplos de sucesiones de Goodstein

Mira otros diccionarios:

Compartir el artículo y extractos

Los diccionarios y las enciclopedias sobre el Académico

Wikipedia Español

Sucesión de Goodstein

Ejemplos de sucesiones de Goodstein

Mira otros diccionarios:

Compartir el artículo y extractos

Link directo