Teorema de Seifert-van Kampen

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En matemáticas, concretamente en topología algebraica, el teorema de Seifert–van Kampen, a veces conocido simplemente como el teorema de van Kampen, expresa la estructura del grupo fundamental de un espacio topológico X respecto de los grupos fundamentales de dos subespacios abiertos y conexos por caminos U y V que recubren X. Se puede emplear por tanto para obtener el grupo fundamental de espacios construibles a partir de espacios más sencillos.

Sea $X$ un espacio topológico, $X=U_{1} \cup U_{2}$ , con $U 1, U 2$ subconjuntos abiertos y conexos por caminos, tales que $U_{1}\cap U_{2} \neq \varnothing$ también es conexo por caminos. Sea $x_{0} \in U_{1}\cap U_{2}$ .

Supongamos que conocemos los grupos fundamentales

$Π(U 1, x 0) = < S 1; R 1 >$ ,

$Π(U 2, x 0) = < S 2; R 2 >$ y

$\Pi(U_{1}\cap U_{2}, x_{0})=<S; R>$ .

Entonces, $\Pi(X, x_{0})=<S_1 \cup S_2 ; R_1 \cup R_2 \cup \{ (i_1)_{*}(s)((i_2)_{*}(s))^{-1} | s\in S \} >$ , donde,
si $i_1 : U_1 \cap U_2 \rightarrow U_1$ y $i_2 : U_1 \cap U_2 \rightarrow U_2$ son las inclusiones naturales,
entonces $(i 1) *$ y $(i 2) *$ son las aplicaciones inducidas tales que

$(i_1)_{*} : \Pi(U_1 \cup U_2, x_0) \rightarrow \Pi(U_1, x_0)$ que actúa $[\alpha] \rightarrow (i_1)_{*}([\alpha]):=[i_1 \circ \alpha]$ ,

y análogamente

$(i_2)_{*} : \Pi(U_1 \cup U_2, x_0) \rightarrow \Pi(U_2, x_0)$ que actúa $[\alpha] \rightarrow (i_2)_{*}([\alpha]):=[i_2 \circ \alpha]$ .

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Topología algebraica

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