Transformada binomial

En matemáticas, en el campo de la combinatoria, la transformada binomial es una transformación de sucesiones, o sea, una transformación de una sucesión, que se obtiene calculando sus diferencias anteriores. Esta relacionada con la transformada de Euler, que es el resultado de aplicar la transformada binomial a la sucesión asociada con la función generadora ordinaria. A veces se suele utilizar un caso especial de transformada de Euler para acelerar la sumación de series alternadas (véase aceleración de series). Otro caso especial se aplica a la serie hipergeométrica.

Definición

La transformada binomial, T, de una sucesión, ${a n}$ , es la sucesión ${s n}$ definida como

$s_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} a_k$

Formalmente, la transformación se escribe como $(T a) n = s n$ , donde T es un operador de dimensión infinita con una matriz de elementos $T n k$ :

$s_n = (Ta)_n = \sum_{k=0}^\infty T_{nk} a_k$

La transformada es una involución, o sea,

$TT = 1 \,$

o, en notación indexada,

$\sum_{k=0}^\infty T_{nk}T_{km} = \delta_{nm}$

siendo δ la función delta de Kronecker. Se puede recuperar la serie original con

$a_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} s_k$

La transformada binomial de una sucesión es la n-ésima diferencia anterior de la sucesión, igual a

s 0 = a 0

$s_1 = - (\triangle a)_0 = -a_1+a_0$

$s_2 = (\triangle^2 a)_0 = -(-a_2+a_1)+(-a_1+a_0) = a_2-2a_1+a_0$

. . .

$s_n = (-1)^n (\triangle^n a)_0$

donde Δ es el operador de diferencia anterior.

Algunos autores definen a la transformada binomial con un signo adicional, de manera que no sea inversa consigo misma:

$t_n=\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} {n\choose k} a_k$

cuya inversa es

$a_n=\sum_{k=0}^n {n\choose k} t_k$

Estados desplazados

La transformada binomial es el operador de desplazamiento para los números de Bell. O sea,

$B_{n+1}=\sum_{k=0}^n {n\choose k} B_k$

donde $B n$ son los números de Bell.

Función de generación ordinaria

La transformada conecta las funciones de generación asociadas con las series. Para el caso de la función de generación ordinaria, sea

$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$

$g(x)=\sum_{n=0}^\infty s_n x^n$

entonces

$g(x) = (Tf)(x) = \frac{1}{1-x} f\left(\frac{-x}{1-x}\right)$

Transformada de Euler

La relación entre las funciones de generación ordinarias es a veces llamada la transformada de Euler. Existen dos tipos. En una de sus formas, es utilizada para acelerar la convergencia de una serie alternada. Es decir una que posee la siguiente identidad

$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac {\Delta^n a_0} {2^{n+1}}$

que se obtiene sustituyendo x=1/2 en la expresión previa. Por lo general los términos del lado derecho de la igualdad, se reducen en forma mucho más rápida, permitiendo de esta manera una sumación numérica rápida.

También es frecuente la aplicación de la transformada de Euler a la serie hipergeométrica $\,_2F_1$ . En este caso, la transformada de Euler toma la siguiente forma:

$\,_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{-b} \,_2F_1 \left(c-a, b; c;\frac{z}{z-1}\right)$

La transformada binomial, y su variación la transformada de Euler, se destacan por su conexión con la representación de un número mediante fracción continua. Sea $0 < x < 1$ tal que su representación en fracción continua es

$x=[0;a_1, a_2, a_3,\cdots]$

entonces

$\frac{x}{1-x}=[0;a_1-1, a_2, a_3,\cdots]$

$\frac{x}{1+x}=[0;a_1+1, a_2, a_3,\cdots]$

Función de generación exponencial

Considerando la función de generación exponencial, sea

$\overline{f}(x)= \sum_{n=0}^\infty a_n \frac{x^n}{n!}$

$\overline{g}(x)= \sum_{n=0}^\infty s_n \frac{x^n}{n!}$

entonces

$\overline{g}(x) = (T\overline{f})(x) = e^x \overline{f}(-x)$

La transformada de Borel convierte a una función de generación ordinaria en la función de generación exponencial.

Representación integral

Cuando se puede interpolar la sucesión por medio de una función analítica compleja, entonces la transformada binomial de la sucesión puede ser representada por medio de una integral de Nörlund-Rice en la función interpolante.

Generalizaciones

Prodinger desarrolla una transformación de tipo modular: sea

$u_n = \sum_{k=0}^n {n\choose k} a^k (-c)^{n-k} b_k$

lo cual conduce a

$U(x) = \frac{1}{cx+1} B\left(\frac{ax}{cx+1}\right)$

donde U y B son las funciones generadoras ordinarias asociadas con las series ${u n}$ y ${b n}$ , respectivamente.

The rising k-binomial transform is sometimes defined as

$\sum_{j=0}^n {n\choose j} j^k a_j$

The falling k-binomial transform is

$\sum_{j=0}^n {n\choose j} j^{n-k} a_j$ .

Ambas son homomorfismos del kernel de la trasnformada de Hankel de una serie.

Véase también

Serie de Newton
Matriz de Hankel
Transformada de Möbius
Transformada de Stirling

Referencias

Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming Vol. 3, (1973) Addison-Wesley, Reading, MA.
Helmut Prodinger, Some information about the Binomial transform, (1992)
Michael Z. Spivey and Laura L. Steil, The k-Binomial Transforms and the Hankel Transform, (2006)

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