Transformada de Abel

Transformada de Abel

En matemáticas, la transformada de Abel, llamada así por Niels Henrik Abel, es una transformada integral frecuentemente usada en el análisis de funciones de simetría esférica o axial. La transformada de Abel de una función f(r) está dada por:

F(y)=2\int_y^\infty \frac{f(r)r\,dr}{\sqrt{r^2-y^2}}.

Si f(r) tiende a cero más rápidamente que 1/r, la transformada inversa de Abel viene dada por

f(r)=-\frac{1}{\pi}\int_r^\infty\frac{d F}{dy}\,\frac{dy}{\sqrt{y^2-r^2}}.

En análisis de imágenes, se usa una transformada de Abel para proyectar una función de emisión ópticamente delgada y de simetría axial sobre un plano. La transformada inversa se usa para calcular la función de emisión, dada una cierta proyección (ej. un escaneo o una fotografía) de esta función.

Recientemente la transformada inversa de Abel (y sus variantes) se ha convertido en la piedra angular del análisis de datos de imágenes tipo fotón/fragmento/ion (photofragment-ion imaging) y fotón/electrón (photoelectron imaging). Entre las más notables extensiones recientes de la transformada inversa de Abel están los métodos Onion Peeling y BAsis Set Expansion (BASEX) para análisis de imágenes tipo fotón/electrón y fotón/ion.

Contenido

Interpretación geométrica

Una interpretación geométrica de la transformada de Abel en dos dimensiones. Un observador (I) mira a lo largo de la línea paralela al eje x a una distancia y sobre el origen. Lo que el observador mira es la proyección (i.e. la integral) de la función de simetría circular f(r) a lo largo de la línea de visión. La función f(r) está representada en gris en ésta figura.Se asume que el observador está localizado infinitamente lejos del origen de manera que los límites de integración son ±∞.

En dos dimensiones, la transformada de Abel F(y) puede ser interpretada como la función de simetría circular f(r) a lo largo de un conjunto de líneas de visión, las cuales están a una distancia y desde el origen. En referencia a la figura de la derecha, el observador (I) verá:

F(y)=\int_{-\infty}^\infty f(\sqrt{x^2 + y^2})\,dx

donde f(r) es la función de simetría circular representada en gris en la figura. Se asume que el observador está en x = ∞ de manera que los límites de integración son ±∞ y todas las líneas de visión son paralelas al eje x. Notando que el radio r se relaciona con x y con y via r2 = x2 + y2, se sigue que:

dx=\frac{r\,dr}{\sqrt{r^2-y^2}}.

El intervalo de integración en r no pasa por cero, y ya que ambos f(r) y la expresión de arriba para dx son funciones pares, podemos escribir:

\int_{-\infty}^\infty f(r)dx=2\int_0^\infty f(r)\,dx, \;\; r= \sqrt{x^2+y^2}.

Substituyendo la expresión paradx en términos de ry reescribiendo los límites de integración acordemente, resulta la transfomada de Abel.

La transformada de Abel puede extenderse a dimensiones más altas. La extensión a tres dimensiones es de particular interés. Si tenemos una función de simetría axial f(ρ,z) donde ρ2 = x2 + y2 es el radio cilíndrico, entonces podríamos querer saber la proyección de esa función sobre el plano paralelo al eje z. Sin pérdida de generalidad, podemos escoger el plano yz de manera que:

F(y,z) =\int_{-\infty}^\infty f(\rho,z)\,dx =2\int_y^\infty \frac{f(\rho,z)\rho\,d\rho}{\sqrt{\rho^2-y^2}}

la cual es justo la transformada de Abel de f(ρ,z) en ρ y y.

La simetría esférica es un tipo particular de simetría axial. En éste caso, tenemos la función f(r) donde r2 = x2 + y2 + z2. La proyección sobre, digamos el plano yz, será circularmente simétrica y expresable como F(s) donde s2 = y2 + z2. Efectuando la integración, tenemos:

F(s) =\int_{-\infty}^\infty f(r)\,dx =2\int_s^\infty \frac{f(r)r\,dr}{\sqrt{r^2-s^2}}

lo cual es también la transformada de Abel de f(r) en r y s.

Verificación de la transformada inversa de Abel

Asumiendo que f es continua y diferenciable en todo punto y que f, f' tienden a cero más rápido que 1/r, podemos hacer u = f(r) y v=\sqrt{r^2-y^2} . Integrando por partes se tendrá:

F(y) = -2 \int_y^\infty f'(r) \sqrt{r^2-y^2} \, dr.

Diferenciando formalmente,

F'(y) = 2 y \int_y^\infty \frac{f'(r)}{\sqrt{r^2-y^2}} \, dr.

Ahora, substituyendo esto en la fórmula de la transformada inversa de Abel:

-\frac{1}{\pi} \int_r^\infty \frac{F'(y)}{\sqrt{y^2-r^2}} \, dy = \int_r^\infty \int_y^\infty \frac{-2 y}{\pi \sqrt{(y^2-r^2) (s^2-y^2)}} f'(s) \, ds dy.

Por el Teorema de Fubini, la última integral es igual a:

\int_r^\infty \int_r^s \frac{-2 y}{\pi \sqrt{(y^2-r^2) (s^2-y^2)}} \, dy f'(s) \,ds = \int_r^\infty (-1) f'(s) \, ds = f(r).

Relación con otras transformadas integrales

Relación con las transformadas de Fourier y Hankel

La transformada de Abel es un miembro del ciclo FHA de operadores integrales. Por ejemplo, en dos dimensiones, si definimos A como el operador transformada de Abel, F como el operador transformada de Fourier y H como el operador transformada de Hankel de orden cero, entonces, un caso especial del Teorema de proyección-rebanada para funciones de simetría circular establece que:

FA=H.\,

En otras palabras, aplicando la transformada de Abel a una función 1-dimensional y luego aplicando la transformada de Fourier resulta ser lo mismo que aplicar la transformada de Hankel a esa función. Este concepto puede extenderse a más dimensiones.

Relación con la transformada de Radon

La tranformada de Abel es una proyección de f(r) a lo largo de un eje particular. La transformada de Radon 2-dimensional nos da la transformada de Abel no sólo como función de la distancia a lo largo del eje de visión, sino también como función del ángulo de éste eje.

Referencias

  • Bracewell, R. (1965). The Fourier Transform and its Applications. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-007016-4. 

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