Fórmula de De Polignac

Fórmula de De Polignac

En teoría de números, la Fórmula de De Polignac, llamada así en honor a Alphonse de Polignac, proporciona la factorización en primos del factorial n!, donde n ≥ 1 es un número entero. L. E. Dickson atribuye la fórmula a Legendre.[1]

La fórmula

Sea n ≥ 1 un entero. Entonces, la descomposición en números primos de n! es dada mediante

\prod_{p\text{ primo} \atop p \leq n} p^{s_p(n)}

donde

s_p(n) = \sum_{j = 1}^\infty \left\lfloor\frac{n}{p^j}\right\rfloor

y los corchetes representan la función piso.

Nótese que, para cualquier número real x, y cualquier entero n, se obtiene:

\left\lfloor\frac{x}{n}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{\lfloor x \rfloor}{n}\right\rfloor

que permite calcular más sencillamente los términos sp(n).

Notas y referencias

  1. ↑ Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers, Volume 1, Carnegie Institution of Washington, 1919, page 263.

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