Factorial

Factorial
n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5.040
8 40.320
9 362.880
10 3.628.800
15 1.307.674.368.000
20 2.432.902.008.176.640.000
25 15.511.210.043.330.985.984.000.000
50 30.414.093.201.713.378.043 × 1045
70 1,19785717... × 10100
450 1,73336873... × 101.000
3.249 6,41233768... × 1010.000
25.206 1,205703438... × 10100.000
100.000 2,8242294079... × 10456.573

Para todo número natural n, se llama n factorial o factorial de n al producto de todos los naturales desde 1 hasta n:

n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times ... \times (n-1) \times n \,

Que de un modo resumido, se puede expresar como:

n! = \prod_{k=1}^n k

Contenido

Definición

Se define 0! = 1, para que la relación n! = n × (n − 1)! sea también válida para n = 1. Esta relación permite definir los factoriales por recursividad. La notación n! fue popularizada por el matemático francés Christian Kramp.

n!= \begin{cases} \mbox{si }n=0 & \Rightarrow 1 \\ \mbox{si }n \geqslant 1 & \Rightarrow (n-1)! \cdot n \end{cases}

Los factoriales se usan mucho en la rama de la matemática llamada combinatoria, a través del binomio de Newton, que da los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)n:

(a+b)^n = {n\choose 0}a^n + {n\choose 1} a^{n-1} b + {n \choose 2} a^{n-2}b^2 + \cdots + {n\choose n-1} ab^{n-1} + {n\choose n}b^n

donde {n \choose k} representa un coeficiente binomial: {n\choose k} = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}

Por medio de la combinatoria, los factoriales intervienen en el cálculo de las probabilidades. Intervienen también en el ámbito del análisis, en particular a través del desarrollo polinomial de las funciones (fórmula de Taylor). Se generalizan a los reales con la función gamma, de gran importancia en la teoría de números.

Para valores grandes de n, existe una expresión aproximada para el factorial de n, dado por la fórmula de Stirling:

n!\approx \sqrt{2 \pi n} \left ( \frac{n}{e} \right )^{n}

La ventaja de esta fórmula es que no precisa inducción y, por lo tanto, permite evaluar n! más rápidamente cuando mayor sea n.


El factorial de n es generalizado para cualquier número real n por la función gamma de manera que

n!=\int^\infty_0t^ne^{-t}dt=\Gamma(n+1)

Productos similares

Primorial

El primorial (sucesión A002110 en OEIS) se define de forma similar al factorial, pero sólo se toma el producto de los números primos menores o iguales que n.

Doble factorial

Se define el doble factorial de n como:

n!! = \begin{cases} 1 & \mbox{si } n=0\mbox{ o }n=-1 \\ 2 \times 4 \times 6 \times ... \times (n-2) \times n \ & \mathrm{si}\ n\ \mathrm{es}\ \mathrm{par} \\ 1 \times 3 \times 5 \times ... \times (n-2) \times n \ & \mathrm{si}\ n\ \mathrm{es}\ \mathrm{impar} \\\end{cases}


Por ejemplo, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 y 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945. La sucesión de dobles factoriales (sucesión A006882 en OEIS) para n = 0, 1, 2, \dots empieza así:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...

La definición anterior puede extenderse para definir el doble factorial de números negativos:

n!!={(-1)^{-(n+1)/2}\over -(n+2)!!}.

Y esta es la sucesión de dobles factoriales para n= -1, -3, -5, -7, \dots\,:

1, -1, \tfrac{1}{3}, -\tfrac{1}{15}, \dots

El doble factorial de un número negativo par no está definido.

Algunas identidades de los dobles factoriales:

  1. n!=n!!(n-1)!! \,
  2. (2n)!!=2^nn! \,
  3. (2n+1)!!={(2n+1)!\over(2n)!!}={(2n+1)!\over2^nn!}
  4. (2n-1)!!={(2n-1)!\over(2n-2)!!}={(2n)!\over2^nn!}
  5. \Gamma\left(n+{1\over2}\right)=\sqrt{\pi}\,\,{(2n-1)!!\over2^n}
  6. \Gamma\left({n\over2}+1\right)=\sqrt{\pi}\,\,{n!!\over2^{(n+1)/2}}

Implementación en lenguajes de programación

La función factorial es fácilmente implementable en distintos lenguajes de programación. Se pueden elegir dos métodos, el iterativa, es decir, realiza un bucle en el que se multiplica una variable temporal por cada número natural entre 1 y n, o el recursivo, por el cual la función factorial se llama a sí misma con un argumento cada vez menor hasta llegar al caso base 0!=1.

Véase también

Enlaces externos


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  • factorial — FACTORIÁL, factoriale, adj. (mat.; în sintagma) Produs factorial (şi substantivat, n.) = produs obţinut prin înmulţirea numerelor întregi şi succesive începând de la 1 şi mergând până la numărul respectiv. [pr.: ri al] – Din fr. factorielle.… …   Dicționar Român

  • Factorial — Fac*to ri*al, n. (Math.) (a) pl. A name given to the factors of a continued product when the former are derivable from one and the same function F(x) by successively imparting a constant increment or decrement h to the independent variable. Thus… …   The Collaborative International Dictionary of English

  • factorial — (De factor). f. Mat. Producto que resulta de multiplicar un número entero positivo dado por todos los enteros inferiores a él hasta el uno. (Símb. !). El factorial de 4 es 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. ☛ V. análisis factorial …   Diccionario de la lengua española

  • factorial — Mathematics ► NOUN ▪ the product of an integer and all the integers below it, e.g. 4 x 3 x 2 x 1 (factorial 4, denoted by 4! and equal to 24). ► ADJECTIVE ▪ relating to a factor or factorial. DERIVATIVES factorially adverb …   English terms dictionary

  • factorial — adjetivo 1. Área: matemáticas Del factor o de los factores: Haz la descomposición factorial de 125. sustantivo femenino 1. Área: matemáticas Producto de todos los términos de una progresión aritmética …   Diccionario Salamanca de la Lengua Española

  • factorial — [fak tôr′ē əl] adj. 1. of a factor 2. Math. of factors or factorials n. Math. the product of a given series of consecutive whole numbers beginning with 1 and ending with the specified number [the factorial of 5 (5!) is 1 × 2 × 3 × 4 × 5, or 120] …   English World dictionary

  • Factorial — Fac*to ri*al, a. 1. Of or pertaining to a factory. Buchanan. [1913 Webster] 2. (Math.) Related to factorials. [1913 Webster] …   The Collaborative International Dictionary of English

  • Factorial —   [engl.], Fakultät …   Universal-Lexikon

  • factorial — 1816 (n.), 1837 (adj.), from FACTOR (Cf. factor) + AL (Cf. al) (2) …   Etymology dictionary

  • factorial — |àt| adj. 2 g. 1. Referente a fatores. 2. Constituído por fatores.   ♦ [Portugal] Grafia de fatorial antes do Acordo Ortográfico de 1990.   ♦ Grafia no Brasil: fatorial …   Dicionário da Língua Portuguesa

  • Factorial — n n! 0 1 1 1 2 2 3 6 4 24 5 120 6 720 7 …   Wikipedia

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