Identidad de Proizvolov

En matemática, la identidad de Proizvolov es una identidad relativa a la suma de diferencias de números enteros positivos. La identidad fue propuesta por Vyacheslav Proizvolov como un problema en las Olimpiadas Soviéticas de Estudiantes de 1985 (Savchev y Andreescu, 2002, p. 66).

Para formular la identidad, se toman los primeros 2N enteros positivos,

1, 2, 3, ..., 2N − 1, 2N,

y se realiza una partición de ellos en dos subconjuntos de N números cada uno. Se reagrupa un subconjunto de manera que los elementos queden ordenados de menor a mayor (orden creciente):

Se reagrupa el otro subconjunto de manera que los elementos queden ordenados de mayor a menor (orden decreciente):

Entonces la suma

es siempre igual a N².

Ejemplo

Tómese por ejemplo N = 3. El conjunto de números es entonces {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Se seleccionan tres números de este conjunto, por ejemplo el 2, 3 y 5. Entonces las secuencias A y B son:

A₁ = 2, A₂ = 3, y A₃ = 5;

B₁ = 6, B₂ = 4, y B₃ = 1.

La suma es

| A₁ − B₁ | + | A₂ − B₂ | + | A₃ − B₃ | = | 2 − 6 | + | 3 − 4 | + | 5 − 1 | = 4 + 1 + 4 = 9,

la cual indica que es igual a 3².

Referencias

• Savchev, Svetoslav; Andreescu, Titu (2002), Mathematical miniatures, Anneli Lax New Mathematical Library, 43, Mathematical Association of America, ISBN 088385645X .

Enlaces externos

• Proizvolov's identity en cut-the-knot.org
• Miguel Ángel Morales Medina. «La identidad de Proizvolov» (en castellano). gaussianos.com. Consultado el 2 de junio de 2011.