Interpolación racional

Interpolación racional

Una Función racional r, de grado N, es un cociente de polinomios cuyos grados suman N.

r(x)=\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p_0+p_1(x-x_0)+ \cdots +p_n(x-x_0)^n}{q_0+q_1(x-x_0)+ \cdots +q_n(x-x_0)^n}

La primera forma de obtener esta función racional se parece más a una interpolación que a una aproximación, propiamente dicha. Supongamos que x_1,x_2, \cdots ,x_N son puntos, ninguno de los cuales es igual al punto x0, en torno al cual se obtiene la interpolación. Queremos que f(x) y r(x) coincidan en el conjunto {x_0,x_1,x_2, \cdots ,x_N}. Para que r(x) exista en x0, debe ser q_0 \ne 0 y podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que q0 = 1. Por otra parte, al sustituir x por x0, se obtiene p0 = f(x0). Así pues, el punto x0 ya ha sido utilizado y no intervendrá en los cálculos siguientes. Si sustituimos en r(x), cada uno de los puntos {x_0,x_1,x_2, \cdots ,x_N} y exigimos que el resultado sea, en cada caso, el valor de f(x) en dichos puntos, obtendremos el sistema de ecuaciones:

\sum_{k=1}^n p_k(x_i-x_0)^k - \sum_{j=1}^m f(x_i)q_j(x_i-x_0)^j= f(x_i)-f(x_0), i=1,2,\cdots x_N


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