- Simetrización y antisimetrización
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La simetrización y antisimetrización de un tensor son operaciones que a partir de un tensor producen un tensor del mismo tipo, pero con cierta simetría añadida en un conjunto escogido de índices.
El tensor resultante suele nombrarse del mismo modo que el tensor original, salvo por el uso de paréntesis para denotar al conjunto de índices simetrizados o de corchetes para el conjunto de índices antisimetrizados. Por ejemplo, la simetrización del tensor Tij en todos sus índices es el tensor simétrico
, mientras que su antisimetrización sería el tensor antisimétrico ![\scriptstyle T_{[ij]} = {1\over 2}\left(T_{ij}-T_{ji}\right)](d/6bd7d2c31e1ceda670173738c881393f.png)
.Contenido
Simetrización
Se define la operación de simetrización sobre k índices del mismo tipo (todos covariantes o todos contravariantes) de un tensor cualquiera según la fórmula:
.
Observamos cómo la suma se extiende a todas las permutaciones de los índices que aparecen rodeados por paréntesis.
. Por ejemplo:
.
Antisimetrización
Del mismo modo se define la antisimetrización en k índices del mismo tipo como:
![A^{n_1\ldots n_p}_{[m_1\ldots m_k]m_{k+1}\ldots m_q}=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma(m_1\ldots m_k)}(-1)^{\sgn \sigma} A^{n_1\ldots n_p}_{\sigma(m_1)\ldots \sigma(m_k)m_{k+1}\ldots m_q}](7/5274c75c0f391a660bb456a0963cf70f.png)
.
De nuevo la suma recorre todas las posibles permutaciones de los índices antisimetrizados, pero ahora el factor sgn σ tiene en cuenta la paridad de la permutación.
Ejemplos:
![A_{[klm]}=\frac{1}{3!}(A_{klm}+A_{lmk}+A_{mkl}-A_{kml}-A_{lkm}-A_{mlk})](9/ea9b033603ddb04d5cafcd6132616d5d.png)
;![A_k^{q[l}B_{pr}^{m]}=\frac{1}{2!}(A_k^{ql} B_{pr}^m - A_k^{qm} B_{pr}^l)](a/6ea93c90d2637da206de8b9c52eabed4.png)
.
Propiedades
- Si aplicamos simetrización en un conjunto de índices y, acto seguido , en un conjunto de índices que contenga al anterior, podemos ignorar la primera simetrización.
- Si aplicamos simetrización a un conjunto de índices y posteriormente antisimetrizamos al menos dos de esos índices, el resultado es el tensor nulo.
Los anteriores resultados siguen siendo válidos si intercambiamos los papeles de simetrización y antisimetrización.
- En general, las operaciones de simetrización o antisimetrización no conmutan unas con otras. No se permiten expresiones del tipo A[k(lm]n) al no saber en qué orden se efectuaron las operaciones. Sí podemos asegurar que conmutan cuando actúan sobre conjuntos disjuntos de índices. Por ello, sí están permitidas expresiones del tipo A[kl](mn).
Otras definiciones
Algunos autores no incluyen el factor
en las definiciones anteriores, esto obliga a corregir otras fórmulas. En este caso, se perdería la propiedad de que la simetrización de un tensor simétrico coincida con él mismo.Bibliografía
- Roger Penrose, Wolfgang Rindler. Spinors and space-time: Two-spinor calculus and relativistic fields, Volumen 1. Univ. Pr., 2003. ISBN 0521245273, 9780521245272. Sección 3.3 Symmetry operations (pg 132)
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