Álgebra multilineal

Álgebra multilineal

En la matemática, el álgebra multilineal es una área de estudio que generaliza los métodos del álgebra lineal. Los objetos de estudio son los productos tensoriales de espacios vectoriales y las transformaciones multi-lineales entre los espacios.

Contenido

Notación

El álgebra multilineal hace un uso intensivo de la notación multi-índice. Una notación de ese tipo hace representar las combinaciones lineales por un conjunto de dos o más índices repetidos.

  • En el caso elemental (tensores de rango uno contravariantes) tenemos, usando la convención de la suma de Einstein: \scriptstyle X=X^se_s\,. Lo cual indica que el objeto X, es la combinación lineal:

\sum_{s=1}^{n}X^se_s=X^1e_1+X^2e_2+\cdots+X^ne_n

sobre los vectores básicos \scriptstyle e_s\,, y los \scriptstyle X^s\, llamados los componentes de X. Aquí n es la dimensión (algebraica) de espacio donde "vive" X. Por convención se llama a estos 1-contra-tensores.
  • En rango uno también están los 1-co tensores, es decir mapeos lineales desde el espacio elegido hacia el campo de los escalares. Ellos se escriben como combinación lineal de los funcionales lineales es, transformaciones lineales \scriptstyle V\to\mathbb{K} que satisfacen: \scriptstyle e^s(e_{\sigma})={\delta^s}_{\sigma}, donde (como clásicamente) se está usando la delta de Kronecker. Así cualquier covector \scriptstyle f\colon V\to\mathbb{K} se escribe como \scriptstyle f=f_se^s\,, notación que abrevia \scriptstyle f=f_1e^1+\cdots+f_ne^n\,.
  • Tensores de rango dos:
    • Un tensor de rango dos contravariante es \scriptstyle B=B^{st}e_s\otimes e_t.
    • Un tensor de rango dos covariante es \scriptstyle C=C_{st}e^s\otimes e^t.
    • Y un tensor de rango dos mixto es \scriptstyle D={D^s}_t e_s\otimes e^t. Esto inidica una combinación lineal bi-indexada.
Por ejemplo,

B=B^{11}e_1\otimes e_1+B^{12}e_1\otimes e_2+B^{21}e_2\otimes e_1+B^{22}e_2\otimes e_2

si la dimensión del espacio es dos.
  • Generalizando lo anterior se escribe \scriptstyle {A^{i_1i_2...i_p}}_{j_1j_2...j_q} para representar los componentes de un tensor mixto A, que es p-contravariante y q-covariante. Pero

A={A^{i_1i_2...i_p}}_{j_1j_2...j_q}e_{i_1}\otimes\cdots\otimes e_{i_p}\otimes e^{j_1}\otimes\cdots\otimes e^{j_q}

representa una combinación lineal multi-indexada.

Todo lo anterior sólo ha sido considerando que el espacio vectorial es de dinensión finita igual a n.

Historia

Producto tensorial

Teniendo dos espacios vectoriales V, W, con respectivas bases {b1,...,bn}, {c1,...,cm} se define su producto tensorial

V\otimes W:=\langle\{ b_i\otimes c_j\}\rangle

es decir el espacio vectorial generado por los nuevos símbolos

\{b_1\otimes c_1, b_1\otimes c_2,...,b_n\otimes c_{m-1},b_n\otimes c_m\}

Y por lo tanto si un objeto X que vive en (pertenece a) \scriptstyle V\otimes W entonces el se puede representar como una combinación lineal

X=X^{11}b_1\otimes c_1+X^{12}b_1\otimes c_2+\cdots+ X^{ij}b_i\otimes c_j+\cdots+X^{nm} b_n\otimes c_m

y la cual se va a abreviar como

X=X^{st}b_s\otimes c_t

los índices repetidos s o t, una vez arriba y una vez abajo -está convenido- indica sumación, cada uno.

Esta definición es absolutamente abstracta, pero desde el punto de vista algebraico no hay ningún problema explorar todas la posibilidades del producto tensorial. Una plétora de espacios surge (y de importancia capital) simplemente al considerar un espacio vectorial V y su dual V * uno obtiene los espacios:

V\otimes V\otimes V=V^{3\otimes}

\scriptstyle V\otimes V^*={\rm Hom}(V)

\scriptstyle V^*=\Lambda^1(V)\,

\scriptstyle V\wedge V

\scriptstyle \Lambda^k(V)\,

Todos ellos de uso cotidiano em la geometría diferencial, geometría algebraica, álgebra conmutativa, relatividad y cuántica, teorías de campo, QFT, TQFT y otras.

Tensores y formas

Sea V generado por los bi. Simbolicemos con βμ la base de dual \scriptstyle V^*. Cualquier elemento de \scriptstyle V^*\otimes V^* se escribe de la forma \scriptstyle B_{\mu\nu}\beta^{\mu}\otimes\beta^{\nu}. Esta misma expresión puede ser vista como un mapa bilineal

\scriptstyle V\times V \stackrel{B_{\mu\nu}\beta^{\mu}\otimes\beta^{\nu} } \longrightarrow \mathbb{R}
\scriptstyle(b_i,b_j)\mapsto B_{\mu\nu}\beta^{\mu}\otimes\beta^{\nu}(b_i,b_j)=B_{ij}

sabiendo que \scriptstyle \beta^{\mu}\otimes\beta^{\nu}(b_i,b_j)={\delta^{\mu}}_i{\delta^{\nu}}_j - kronecker.

Otro de rango dos es \scriptstyle V\otimes V^*. Los elementos de aquí se ven como combinaciones lineales bi-indexadas \scriptstyle {B^{\mu}}_\nu b_{\mu}\otimes \beta^{\nu}.

Algunos conceptos desarrollados (lista incompleta)

Referencia

Bibliografía


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