Sistema hamiltoniano integrable

Sistema hamiltoniano integrable

Un sistema integrable es un caso particular de sistema hamiltoniano que cuya ecuaciones de movimiento puden ser resueltas para cualquier conjunto de condiciones iniciales mediante cuadraturas. Estos sistemas admiten un número suficiente de constantes de movimiento en involución. Liouville provó que un sistema con n grados de libertad es integrable si posee n constantes de movimiento en involución.

Contenido

Definición de sistema integrable

Sea un sistema haimiltoniano definido sobre una variedad simpléctica o, equivalentemente, sobre el espacio fásico del sistema. Se dice que una familia de funciones F_1,\dots,F_n definidas sobre la variedad simpléctica M (o el espacio fásico) es independiente si las 1-formas dF_1,\dots,dF_n son linealmente independientes en cualquier punto de M.

Un sistema hamiltoniano sobre M de dimensión 2n se dice integrable en el sentido de Liouville si su hamiltoniano admite n integrales de movimiento independienes en involución, es decir:

  1. \{H,F_i\} = 0\, para 1 \le i \le n.
  2. \{F_i,F_j\} = 0\, para 1 \le i,j \le n.
  3. dF_1\land \dots \land dF_n \ne 0.

donde \{\cdot,\cdot\} es el paréntesis de Poisson.

Ejemplos

Sistema que admite n variables ángulo-acción

Considerando las variables estándar ángulo-acción (\theta,I)\in \mathbb{T}^n\times\R^n cualquier hamiltoniano de la forma H = H(I)\, es integrable con las integrales:

F_i = I_i, \qquad 1\le i \le n\,

que están en involución en cualquier punto y son independientes.

Oscilador armónico

Sea un oscilador armónico con n grados de libertad y sean las coordenadas canónicas (q,p)\in \R^n\times\R^n, entonces cualquier hamiltoniano de la forma:

H = H(q_1^2+p_1^2,\dots, q_n^2+p_n^2)

Es integrable siendo las integrales de movimiento en involución:

F_i = q_i^2+p_i^2, \qquad 1\le i \le n\,

Integrabilidad y foliación

Geométricamente puede demostrarse que la definición de integrabilidad en el sentido de Liouville garantiza que existen n foliación tales que la intersección de ellas son precisamente las trayectorias del sistema en el espacio fásico.

Referencias

Bibliografía

  • Kappeler, Thomas; Pöschel, Jürgen (2000). «II. Classical Bacground» (en inglés). KdV & KAM. Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag. pp. 27-34. ISBN 3-540-02234-1. 

Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Mira otros diccionarios:

  • Hamiltoniano (mecánica clásica) — Para la versión cuántica del Hamiltoniano, véase Hamiltoniano (mecánica cuántica). El hamiltoniano es una función escalar a partir de la cual pueden obtenerse las ecuaciones de movimiento de un sistema mecánico clásico que se emplea en el enfoque …   Wikipedia Español

  • Hamiltoniano molecular — Este artículo o sección necesita ser wikificado con un formato acorde a las convenciones de estilo. Por favor, edítalo para que las cumpla. Mientras tanto, no elimines este aviso puesto el 14 de septiembre de 2011. También puedes ayudar… …   Wikipedia Español

  • Billar dinámico — Saltar a navegación, búsqueda El estadio de Bunimovich es un billar dinámico de tipo caótico Un billar dinámico es un sistema dinámico en el cual una partícula alterna entre movimiento rectilíneo y reflexiones especulares en un contorno o… …   Wikipedia Español

  • Corchete de Poisson — Saltar a navegación, búsqueda En matemáticas y mecánica clásica, el corchete de Poisson es un importante operador de la mecánica hamiltoniana, actuando como pieza fundamental en la definición de la evolución temporal de un sistema dinámico en la… …   Wikipedia Español

  • Par de Lax — Saltar a navegación, búsqueda En la mecánica clásica el estado de un sistema se especifica por un punto en el espacio fase o espacio fásico. En general es un espacio de dimensión par con coordenadas de posición y momento . La evolución del… …   Wikipedia Español

  • Oscilador armónico — Se dice que un sistema cualquiera, mecánico, eléctrico, neumático, etc. es un oscilador armónico si cuando se deja en libertad, fuera de su posición de equilibrio, vuelve hacia ella describiendo oscilaciones sinusoidales, o sinusoidales… …   Wikipedia Español

  • Vector propio y valor propio — Fig. 1. En esta transformación de la Mona Lisa, la imagen se ha deformado de tal forma que su eje vertical no ha cambiado. (nota: se han recortado las esquinas en la imagen de la derecha) …   Wikipedia Español

  • Topología simpléctica — La topología simpléctica es aquella parte de la matemática referida al estudio de las variedades simplécticas. Estas variedades se presentan naturalmente en la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica, que proporciona una de las… …   Wikipedia Español

  • Mecánica cuántica — Imagen ilustrativa de la dualidad onda partícula, en el cual se puede ver cómo un mismo fenómeno puede tener dos percepciones distintas. La mecánica cuántica[1] [2] es …   Wikipedia Español

  • Espacio fásico — de un sistema dinámico con estabilidad focal. En mecánica clásica, el espacio fásico, espacio de fases o diagrama de fases es una construcción matemática que permite representar el conjunto de posiciones y momentos conjugados de un sistema de… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”