- Teorema de Beatty
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En matemática, el teorema de Beatty da una condición necesaria y suficiente para que dos sucesiones pseudo-aritméticas sean una partición de
. Fue publicado en 1926 por el matemático canadiense Samuel Beatty.Contenido
Enunciado
Afirma la relación de equivalencia de los dos puntos siguientes :
- Los números p et q son positivos, irracionales y verifican
- Las dos secuencias de enteros
y 
forman una partición del conjunto
en donde la función E designa la función parte entera. El resultado no es generalizable (engañosamente): no es posible hacer una partición de
con más de tres sucesiones pseudo-aritméticas.Demostración Sean p y q dos reales estrictamente positivos, tales que las sucesiones P y Q formen una partición de
El resultado se vuelve intuitivo si se introduce la densidad de una parte A de
, es el límite - si existe - cuando n tiende a 
de 
. Por ejemplo, el conjunto de números pares (o el conjunto de números impares) tiene una densidad que es de 1/2, el conjunto de números primos tiene una densidad de 0.Se ve fácilmente que los conjuntos
donde α es un real positivo tienen densidad 
. Los soportes de las secuencias P y Q forman una partición de , luego la suma de sus densidades vale 1 :Además, p y q no pueden ser racionales los dos, dado que si por caso
, entonces E(b1a2p) = E(b2a1q)( = a1a2). Las sucesiones P y Q no tienen ningún elemento en común. Una de las dos es irracional, por consiguiente las dos son irracionales (pues p − 1 + q − 1 = 1).Recíprocamente, si p et q son irracionales y p − 1 + q − 1 = 1, se prueba por absurdo que los soportes de las sucesiones P y Q son disjuntas. Sea k un entero que se escribe bajo la forma k = E(np) = E(mq).
Por definición de parte entera, se tienen las inecuaciones siguientes :
Si se divide la primera inecuación por p, y la segunda por q :
Sumando las dos inecuaciones, se obtiene :
k, n y m siendo enteros, esto imlica k = n + m; se sigue forzosamente la igualdad entre las dos inecuaciones precedentes. Entonces k = np y k = mq. Lo cual es absurdo dado que p y q son irracionales.
Ahora se demuestra que todo entero natural no nulo es alcanzado por una de las dos sucesiones. Sea
y k = E(np). k es alcanzado por la sucesión P, entonces no por la sucesión Q, existe un único entero m tal que :-
- E(mq) < k < E((m + 1)q).
De hecho, el entero E(mq) es el entero más grande de la sucesión Q inferior a k. Las aplicaciones
y 
son inyectivas dado que p y q son mayores que 1. El intervalo 
contiene entonces m + n elementos de sucesiones P y Q (dado que ambas sucesiones tienen soportes disjuntos). Para concluir, es suficiente con probar que k = n + m. Se tiene :Sumando, se sigue que k - 1 < n + m < k + 1, o bien k = n + m. QED.
Ejemplo
Uno de los primeros ejemplos conocidos descubierto en 1907 por el matemático holandés Wythoff, independiente del teorema de Beatty. Para ϕ el número de oro, se tiene que :
Las dos sucesiones obtenidas serán entonces :
- E(nϕ), n>0 : 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 29, ... (sucesión A000201 en OEIS)
- E(nϕ2), n>0 : 2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 31, 34, 36, 39, 41, 44, 47, ... (sucesión A001950 en OEIS)
Las parejas (E(nϕ),E(nϕ2)) aparecen en la resolución del juego de Wythoff, y caracterizan las posiciones a partir de las cuales el jugador marcado no puede ganar.
Referencias
- Exercices de mathématiques, oraux X-ENS. Algèbre 1. Serge Francinou, Hervé Gianella, Serge Nicolas. Éditions Cassini.
Véase también
- Applets [1]
Categorías:- Teoremas de teoría de números
- Aproximación diofántica
- Los números p et q son positivos, irracionales y verifican
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