Teorema de los tres momentos

Teorema de los tres momentos

El teorema de los tres momentos o teorema de Clapeyron es una relación deducida de la teoría de flexión de vigas y usada en en análisis estructural para resolver ciertos problemas de flexión hiperestática, fue demostrado por Émile Clapeyron a principios del siglo XIX.

Contenido

Enunciado

Dada una viga continua de material elástico lineal sobre varios apoyos simples, los momentos flectores en tres apoyos consecutivos satisfacen la relación:[1]

(1) M_{k-1}L_k + 2M_k(L_k+L_{k+1}) + M_{k+1}L_{k+1} =
-6\left( \frac{\Omega_k D_k}{L_k} + \frac{\Omega_{k+1} d_{k+1}}{L_{k+1}} \right)

Donde

M_k\,, momento flector en el apoyo central, apoyo k-ésimo.
M_{k-1}\,, momento flector en el apoyo a la izquierda, apoyo (k-1)-ésimo.
M_{k+1}\,, momento flector en el apoyo a la derecha, apoyo (k+1)-ésimo.
L_{k}\, longitud del tramo de viga entre el apoyo (k-1)-ésimo y el apoyo k-ésimo
L_{k+1}\, longitud del tramo de viga entre el apoyok-ésimo y el apoyo (k+1)-ésimo.
\Omega_k, \Omega_{k+1}\,, área de los momentos flectores isostáticos en los tramos L_k\, y L_{k+1}\,:

(2)

\Omega_k = \int_0^{L_k} \mathcal{M}^{(k)}_{iso}(x)dx, \qquad \qquad
\Omega_{k+1} = \int_0^{L_{k+1}} \mathcal{M}^{(k+1)}_{iso}(x)dx
D_k, d_k\, son las distancias a los centros de gravedad de los diagramas de momentos flectores por la derecha y por la izquierda, el producto de estos por las áreas respectivas se puede calcular como:

(3)

D_k = \frac{1}{\Omega_k} \int_0^{L_k} x\mathcal{M}^{(k)}_{iso}(x)dx, \qquad \qquad
d_k = \frac{1}{\Omega_{k+1}}\int_0^{L_{k+1}} (L_{k+1}-x)\mathcal{M}^{(k+1)}_{iso}(x)dx

Casos particulares

Carga continua y uniforme

Una fórmula frecuentemente empleada para tableros de puentos, viga y otros elementos con una carga uniforme es un caso particular del teorema de los tres momentos:

M_{k-1}L_k + 2M_k(L_k+L_{k+1}) + M_{k+1}L_{k+1} =
-\left( \frac{qL^3_k}{4} + \frac{qL^3_{k+1}}{4} \right)

Cálculo de áreas y distancias

Las fórmulas integrales (2) y (3) no resultan cómodas en el caso general, sin embargo, para los casos má frecuentes de carga es posible calcular el área del diagarama de momentos isostáticos de cada tramo, y los centros de gravedad de estas áreas. Para un tramo de longitud L las magnitudes anteriores son:

Fórmulas para el área y los centros de gravedad
Tipo de carga q_i(x)\, \mathcal{M}^i_{iso}(x) \Omega_i\, D_i\, d_i\,
Uniforme
Poutre appuis charge uniforme stat.svg
q\, \frac{q}{2}x(L-x)
Poutre appuis charge uniforme mf.svg
\frac{qL^3}{12} \frac{L}{2} \frac{L}{2}
Puntual
Poutre appuis charge roulante stat.svg
P\delta(x-a),\ 0\le a \le L\, ___
Poutre appuis charge roulante mf.svg
\frac{Pa(L-a)}{2} \frac{L+a}{3} \frac{2L-a}{3}
Triangular
Poutre appuis charge lineaire stat.svg
q\frac{x}{L} \frac{qL^2}{6}\left[\frac{x}{L}-\frac{x^3}{L^3}\right]
Poutre appuis charge lineaire mf.svg
\frac{qL^3}{24} \frac{8L}{15} \frac{7L}{15}
Potencial q\frac{x^n}{L^n} ___ \frac{qL^3}{2(n+2)(n+3)} \frac{2L}{3}\frac{n+3}{n+4} \frac{L}{3}\frac{n+6}{n+4}
Uniforme inicial
Poutre appuis charge initiale constant stat.svg
\begin{cases} q & 0\le x \le a \\ 0 & a\le x\le L \end{cases} ___ \frac{qa^2}{12}(3L-2a) \frac{2L^2-a^2}{2(3L-2a)} L-D_i\,
Uniforme centrada
Poutre appuis charge centree constant stat.svg
\begin{cases} 0 & 0\le x \le \frac{L}{2}-c\\
 q & \frac{L}{2}-c\le x\le \frac{L}{2}+c\\ 0 & \frac{L}{2}+c\le x\le L \end{cases} ___ qc\left(\frac{L^2}{4}-\frac{c^2}{3}\right) \frac{L}{2} \frac{L}{2}
Senoidal q_0\sin \frac{\pi x}{L} \frac{q_0 L^2}{\pi^2} \sin \frac{\pi x}{L} \frac{2q_0L^3}{\pi^3} \frac{L}{2} \frac{L}{2}
Triangular centrada
Poutre appuis console appuyee charge triangle stat.svg
\begin{cases} \frac{qx}{L} & 0\le x \le \frac{L}{2} \\
q-\frac{qx}{L} & \frac{L}{2}\le x\le L \end{cases} ___ \frac{5qL^3}{192} \frac{L}{2} \frac{L}{2}

Teorema de los dos momentos

El teorema de los dos momentos es similar pero relaciona el momento flector en dos apoyos consecutivos pero requiere que uno de ellos sea un empotramiento. Si se tiene un empotramiento a la derecha y otro apoyo simple a la izquierda el teorema de los dos momentos establece que la relación entre ambos es:

(4a) 2M_k + M_{k+1} = -6\left( \frac{\Omega_{k+1} d_{k+1}}{L_{k+1}^2} \right)

Expresión que puede obtenerse como caso límite del teorema de los tres momentos anterior haciendo \Omega_k = 0\, y L_k \to 0\,. Si el empotramiento está en el apoyo de la izquierda:

(4b) M_{k-1} + 2M_k = -6\left( \frac{\Omega_k D_k}{L_k^2} \right)

Que también se obtiene de la expresión de los tres momentos haciendo \Omega_{k+1} = 0\, y L_{k+1} \to 0\,

Cálculo de reacciones

Una vez determinados los momentos hiperestáticos con ayuda del teorema de los tres momentos el cálculo de reacciones verticales en cada uno de los apoyos se puede hacer fácilmente con ayuda de la siguiente fórmula:

(5) R_k = \overbrace{\left( \frac{M_{k-1}-M_k}{L_k} + \mathcal{R}^{(k)+}_{iso} \right)}^{izquierda (V_k^-)}
 + \overbrace{\left( \frac{M_{k+1}-M_k}{L_{k+1}} + \mathcal{R}_{iso}^{(k+1)-} \right)}^{derecha  (V_k^+)}

Donde alguno de los términos anteriores debe tomarse igual a cero en el caso de los apoyos extremos por ser inexistente. Y donde:

\mathcal{R}_{(iso)}^{(k)-}, es la reacción isostática en el apoyo de la izquierda del k-ésimo vano,
\mathcal{R}_{(iso)}^{(k)+}, es la reacción isostática en el apoyo de la derecha del k-ésimo vano.

Obviamente:

\mathcal{R}_{iso}^{(k)-} = \left( \frac{d\mathcal{M}_{iso}^{(k)}}{dx} \right)_{x=0}, \qquad 
\mathcal{R}_{iso}^{(k)+} = \left( \frac{d\mathcal{M}_{iso}^{(k)}}{dx} \right)_{x=L_{k+1}}

Ejemplos

Carga continua en dos vanos

Viga continua de tres apoyos con carga continua.
Momentos flectores para viga continua de tres apoyos con carga continua.
  • Viga continua con carga uniforme en toda su longitud, siendo las dos longitudes iguales, en este caso, reflejado en la figura de la derecha el teorema de los tres momentos lleva a:

M_A L + 2M_B(L+L) + M_C L =
-6\left( \frac{\Omega_{AB} L}{2L} + \frac{\Omega_{BC} L}{2L} \right)

Teniendo en cuenta que en este caso \scriptstyle M_A = M_C = 0 por ser los extremos de la viga articulados, usando la fórmula de cálculo del áreas y distancias conveniente (\scriptstyle \Omega_{AB} =  \Omega_{BC} = qL^3/12) y susbstituyendo en la ecuación anterior se tiene que:

M_B = -\frac{qL^2}{8}

y el diagrma de momentos flectores es como el de la figura de la derecha, y viene dado por:

M_{fz}(x) = \begin{cases} -\frac{q}{8}Lx +\frac{q}{2}x(L-x)  & 0 \le x \le L \\
-\frac{q}{8}L(2L-x) +\frac{q}{2}x(3L-x)-qL^2  & L \le x \le 2L  \end{cases}

El máximo momento flector positivo se obtiene buscando los puntos para los cuales la derivada de la función anterior se anula \scriptstyle x = 3L/8 y \scriptstyle x = 13L/8 donde:

M_{max}^+ = \frac{9}{128}qL^2 \approx 0,0703 qL^2

Esfuerzos cortantes para viga continua de tres apoyos con carga continua, los saltos en el diagrama coinciden con las reacciones.

Las reacciones en los apoyos pueden calcularse fácilmente mediante las ecuaciones (5):

\begin{cases} R_A = \cfrac{\frac{-qL^2}{8} -0}{L} + \cfrac{qL}{2} = \cfrac{3qL}{8}\\
R_B = \left( \cfrac{0-\frac{-qL^2}{8}}{L} + \cfrac{qL}{2} \right) + \left( \cfrac{0-\frac{-qL^2}{8}}{L} + \cfrac{qL}{2} \right) =
\cfrac{5qL}{8} + \cfrac{5qL}{8} = \cfrac{5qL}{4}\\
R_C = \cfrac{\frac{-qL^2}{8} -0}{L} + \cfrac{qL}{2} = \cfrac{3qL}{8} \end{cases}

Carga puntual en un vano

Viga continua de tres apoyos con carga puntual en el primer vano.
Momentos flectores para viga continua de tres apoyos con carga puntual.
  • Viga continua con carga puntual en el primer vano, siendo las dos longitudes iguales, en este caso, reflejado en la figura de la derecha el teorema de los tres momentos lleva a:

M_A L + 2M_B(L+L) + M_C L =
-6\left( \frac{\Omega_{AB} L}{2L} + \frac{\Omega_{BC} L}{2L} \right)

Teniendo en cuenta que en este caso \scriptstyle M_A = M_C = 0 por ser los extremos de la viga articulados, usando la fórmula de cálculo del áreas y distancias conveniente (\scriptstyle \Omega_{AB}=FL^2/8,\  \Omega_{BC} = 0) y susbstituyendo en la ecuación anterior se tiene que:

M_B = -\frac{3FL}{32}

El momento flector máximo se da en el primer vano y puede ser calculado como:

M_{max} = \frac{M_B}{4} +\frac{FL}{4} = -\frac{3}{64}FL +\frac{FL}{4} =
-\frac{13}{64}FL

Esfuerzos cortantes para viga de tres apoyos con una carga puntual, los saltos en el diagrama coinciden con las reacciones.

y el diagrma de momentos flectores es como el de la figura de la derecha. Las reacciones en los apoyos calculadas mediante las ecuaciones de (5):

\begin{cases} R_A = \cfrac{\frac{-3FL}{32} -0}{L} + \cfrac{F}{2} = \cfrac{13F}{32}\\
R_B = \left(\cfrac{0-\frac{-3FL}{32}}{L} + \cfrac{F}{2}\right) + \left(\cfrac{0-\frac{-3FL}{32}}{L} + 0 \right) = 
\cfrac{19F}{32} + \cfrac{3F}{32} = \cfrac{11F}{16}\\
R_C = \cfrac{\frac{-3FL}{32} -0}{L} + 0 = -\cfrac{3F}{32} \end{cases}

Referencias

  1. Srivastava and Gope: Strength of Materials, page 73 [1]

Bibliografía


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Mira otros diccionarios:

  • Método de distribución de momentos — Este artículo o sección necesita una revisión de ortografía y gramática. Puedes colaborar editándolo (lee aquí sugerencias para mejorar tu ortografía). Cuando se haya corregido, borra este aviso por favor. NOTA: este artículo está siendo… …   Wikipedia Español

  • Teorema de equipartición — Figura 1. Movimiento térmico de un péptido tipo hélice α. El movimiento vibratorio es aleatorio y complejo, y la energía de un átomo en particular puede fluctuar ampliamente. Sin embargo, el teorema de equipartición permite que se pueda calcular… …   Wikipedia Español

  • Teorema de Thévenin — En la teoría de circuitos eléctricos, el teorema de Thévenin establece que si una parte de un circuito eléctrico lineal está comprendida entre dos terminales A y B, esta parte en cuestión puede sustituirse por un circuito equivalente que esté… …   Wikipedia Español

  • Viga — Para el grupo español de música, véase Viga (banda). Flexión teórica de una viga apoyada articulada sometida a una carga puntual centrada F. En ingeniería y arquitectura se denomina viga a un elemento constructivo lineal que trabaja… …   Wikipedia Español

  • Hiperestático — Una viga hiperestática. En estática, una estructura es hiperestática o estáticamente indeterminada cuando está en equilibrio pero las ecuaciones de la estática resultan insuficientes para determinar todas las fuerzas internas o las reacciones.… …   Wikipedia Español

  • Émile Clapeyron — Benoit Paul Émile Clapeyron. Benoit Paul Émile Clapeyron (26 de febrero, 1799 28 de enero, 1864) fue un ingeniero y físico francés, padre (entre otros) de la teoría termodinámica. Contenido …   Wikipedia Español

  • Distribución normal — Saltar a navegación, búsqueda Distribución normal Función de densidad de probabilidad La línea verde corresponde a la distribución normal estandar Función de distribución de probabilidad …   Wikipedia Español

  • Momento de inercia — Para otros usos de este término, véase Momento de inercia (desambiguación). Una bailarina tendrá más momento de inercia si extiende los brazos, girando más rápido si los contrae. El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia… …   Wikipedia Español

  • Teoría de grafos — Diagrama de un grafo con 6 vértices y 7 aristas. En matemáticas y en ciencias de la computación, la teoría de grafos (también llamada teoría de las gráficas) estudia las propiedades de los grafos (también llamadas gráficas). Un grafo es un… …   Wikipedia Español

  • Superdotación intelectual — (Abreviadamente superdotación) es el término con que se identifica la posesión de un potencial intelectual muy elevado. Tradicionalmente se ha asociado con tener una inteligencia por encima de la media, hasta el punto de que durante mucho tiempo… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”