Teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel

La teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) es una teoría de conjuntos axiomática. Su noción primitiva es la de clase, en lugar de conjunto como en ZF. A diferencia de otras teorías de conjuntos, NBG es finitamente axiomatizable.

Contenido

1 Ontología
2 Axiomas
3 Referencias
4 Bibliografía

Ontología

Siendo una teoría de conjuntos, las nociones primitivas de NBG son clase X y pertenencia ∈. Sin embargo, aun cuando las clases retienen su significado como "colecciones de objetos", se reserva la palabra conjunto para un tipo especial de clases con una propiedad adicional.

En NBG, la designación conjunto se le da a las clases que son elementos de alguna otra clase:

$\text{cto} X\equiv\exists Y\,X\in Y$

A las clases que no son conjuntos se las denomina clases propias.

Este es el modo mediante el cual NBG evita las clásicas paradojas de la teoría de conjuntos.

Axiomas

Notación

En los axiomas de NBG se distingue entre clase y conjunto. Se utilizan letras minúsculas para especificar conjuntos:

$\forall x\alpha\equiv\forall x\,(\text{cto}\,x\rightarrow\alpha)\text{ , }\exists x\alpha\equiv\exists x (\text{cto}\,x\wedge\alpha)$

Se utilizan las notaciones habituales para subconjunto, clase unívoca y función:

$X\subseteq Y\equiv \forall Z, Z\in X\rightarrow Z\in Y$
$\text{Un}A\equiv \forall uvw,(u,v)\in A\wedge (u,w)\in A\rightarrow v=w$
$\text{Fn}F\equiv \text{Un}F\ \wedge\ \forall x\in F\exists uv,x=(u,v)$

Axiomas generales

Este primer grupo de axiomas es básicamente equivalente a sus correspondientes versiones en ZF.

Extensionalidad. Dos clases son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos:

$\forall XY,\,X=Y\leftrightarrow\forall Z(Z\in X\leftrightarrow Z\in Y)$

Par. Dados dos conjuntos existe un tercero que los contiene sólo a ambos:

$\forall xy\exists z,\,\forall w(w\in z\leftrightarrow w=z\vee w=y)$

Unión. Dados dos conjuntos, existe un tercero que contiene a los elementos de ambos:

$\forall xy\exists z,\,\forall w(w\in z\leftrightarrow w\in z\vee w\in y)$

Conjunto vacío. Existe un conjunto sin elementos:

$\exists x\forall y,\,y\notin x$

Reemplazo. Dado un conjunto x y una clase unívoca A, existe el conjunto dado por la imagen de x por A:

$\forall xA,\,\text{Un}A\rightarrow\exists y\forall u(u\in y\leftrightarrow \exists v\in x\,(v,u)\in A)$

De este axioma se demuestra un teorema más intuitivo:

Si F:A→B es una función suprayectiva y A es un conjunto, entonces B también lo es.

Axiomas de formación de clases

NBG tiene la propiedad particular de ser finitamente axiomatizable, esto es, puede definirse con un número finito de axiomas. ZF no comparte esta propiedad, pues uno de sus axiomas es en realidad un esquema axiomático, una afirmación del tipo: "Dada una fórmula φ(x) la siguiente sentencia es un axioma de ZF...". En NBG basta con axiomatizar un número finito de ejemplos.

Intersección. Dadas dos clases existe una tercera que contiene los elementos comunes a ambas:

$\forall XY\exists Z,\,\forall w(w\in Z\leftrightarrow w\in X\wedge w\in Y)$

Complemento. Dada una clase existe otra que contiene todos conjuntos que no están en la primera:

$\forall X\exists Y,\,\forall z(z\in Y\leftrightarrow z\notin X)$

Pertenencia. Existe la clase de la relación binaria de pertenencia entre conjuntos:

$\exists X\forall uv,\,(u,v)\in X\leftrightarrow u\in v$

Dominio. El dominio de una clase siempre existe:

$\forall X\exists Y\forall u (u\in Y\leftrightarrow \exists v\,(u,v)\in X)$

Producto cartesiano. Dada una clase X, existe otra que contiene todos los pares ordenados con primeros elementos en X:

$\forall X\exists Y\forall uv,\,(u,v)\in Y\leftrightarrow u\in X$

Y por último tres axiomas que permutan las n-tuplas ordenadas de una clase dada de diversas maneras:

Permutación 1.

$\forall X\exists Y\forall uv,\,(u,v)\in Y\leftrightarrow (v,u)\in X$

Permutación 2.

$\forall X\exists Y\forall uvw,\,(u,v,w)\in Y\leftrightarrow (w,u,v)\in X$

Permutación 3.

$\forall X\exists Y\forall uvw,\,(u,v,w)\in Y\leftrightarrow (u,w,v)\in X$

De este modo, combinando estos "casos particulares" con los axiomas generales puede demostrarse un esquema axiomático para fórmulas normales (que hablan solamente de conjuntos):

Esquema de formación de clases

Dada una fórmula normal φ(x_i) con cualesquiera variables libres, la expresión

$\exists X\forall x_i,\,x_i\in X\leftrightarrow\varphi(x_i)$

es un teorema de NBG.

Si se prescinde de estos axiomas y en su lugar se adopta el esquema de formación de clases, se obtiene una axiomatización alternativa de NBG (pero no finita). Si se elimina de estos axiomas la restricción a fórmulas normales se obtiene la teoría de conjuntos de Morse-Kelley.

Axiomas adicionales

Además de estos axiomas iniciales, es necesaria una serie de axiomas para que la teoría de conjuntos contenga los aspectos estándar que se usan en la matemática.

Partes. Dado un conjunto, existe otro formado por la totalidad de los subconjuntos del primero:

$\forall x\exists y,\,\forall z(z\in y\leftrightarrow z\subseteq x)$

Infinito. Existe un conjunto biyectable con un subconjunto propio de sí mismo:^[1]

$\exists x f,\,\text{Fn}f\wedge\mathcal D f=x\wedge\mathcal Rf\subsetneq x\wedge f\text{ inyectiva}$

Otro enunciado equivalente a este que también suele adoptarse es el que asegura la existencia de conjuntos inductivos:

$\exists x, \emptyset\in x\wedge\forall y\in x,\,y\cup\{y\}\in x$

Regularidad. Toda clase no vacía contiene una clase disjunta consigo misma:

$\forall X\exists\,Y\in X\,\forall z,\,\neg(z\in X\wedge z\in Y)$

El axioma de elección puede añadirse también a la lista:

Elección. Dado un conjunto, existe una función de elección sobre sus elementos no vacíos:

$\forall x\exists f,\,\text{Fn}f\wedge\mathcal D f=x\wedge \forall u\in x\,(u\neq\emptyset\rightarrow f(u)\in u)$

Referencias

↑ Se utilizan las notaciones habituales para dominio y recorrido de una función: $\mathcal D F\equiv X|\forall y,\,y\in X\leftrightarrow\exists z\,(y,z)\in F\text{ , }\mathcal R F\equiv X|\forall y,\,y\in X\leftrightarrow\exists z\,(z,y)\in F$

Bibliografía

Ivorra, Carlos, Lógica y teoría de conjuntos, http://www.uv.es/ivorra/Libros/Logica.pdf, consultado el 1-1-2011 .
Mendelson, Elliott (1997) (en inglés). Introduction to Mathematical Logic. Chapman & Hall. ISBN 0-412-80830-7.

Este artículo fue creado a partir de la traducción del artículo Von Neumann–Bernays–Gödel set theory de la Wikipedia en inglés, bajo licencia Creative Commons Atribución Compartir Igual 3.0 y GFDL.

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