- Clase (teoría de conjuntos)
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En teoría de conjuntos y sus aplicaciones en matemáticas, una clase es una colección de conjuntos (u otros objetos matemáticos) que no necesariamente es un conjunto. El concepto de clase aparece al intentar "agrupar" todos los conjuntos (u objetos) que comparten una cierta propiedad.
En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) se denomina de manera informal "clase" a toda propiedad expresada por una fórmula de su lenguaje, aun cuando no pueda demostrarse que existe un conjunto que contenga todos los objetos con esa propiedad, en cuyo caso se denomina una clase propia. El uso de las clases es entonces a través de notación. Sin embargo existen otras teorías, como la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel (NBG), en las que las clases son objetos de pleno derecho y puede establecerse una distinción entre ambos tipos de "colecciones de objetos".
Ejemplos de clases propias son la clase universal, la clase R de la paradoja de Russell o la clase de todos los ordinales.
Clases en ZF
En ZF se introduce la noción de clase como un convenio de notación:
Una clase es una expresión del tipo {x : φ(x)}, donde φ es una fórmula con (al menos) la variable libre x.
Las clases suelen denotarse por letras mayúsculas, A, B, ... Esta definición se complementa con una serie de reglas informales para interpretar las fórmulas donde aparezcan clases. Por ejemplo, si A y B son clases definidas por las fórmulas φ y ψ, entonces:
- A ⊆ B significa: ∀x, φ(x) → ψ(x)
- A = B significa: ∀x, φ(x) ↔ ψ(x)
- ∀x ∈ A, ξ(x) significa: ∀x, φ(x) → ξ(x)
- ∀x ∈ A ∩ B, ξ(x) significa: ∀x, φ(x) ∧ ψ(x) → ξ(x)
Puede demostrarse que a cada conjunto a le corresponde una clase —precisamente, la clase {x: x ∈ a}—, pero existen clases propias, clases que no pueden ser conjuntos, o de lo contrario llevan a contradicción. Algunos ejemplos son la clase universal V = {x: x = x} y la clase R = {x: x ∉ x} (que llevan a la paradoja de Russell), o la clase de todos los ordinales On = {α: α es un ordinal} (que lleva a la paradoja de Burali-Forti).
Clases en NBG
En NBG, el objeto fundamental de la teoría es la clase, y se distingue a las clases propias de los conjuntos de manera sencilla:
Un clase a es un conjunto si es elemento de alguna otra clase, esto es, si existe otra clase B tal que a ∈ B. De lo contrario es una clase propia.
Los axiomas de NBG establecen las propiedades de clases propias y conjuntos, de tal manera puede demostrarse la existencia de las clases propias mencionadas anteriormente. Sin embargo, NBG es una extensión conservativa de ZF: restringiéndose a las fórmulas que sólo "hablan" de conjuntos, NBG y ZF prueban los mismos teoremas.
Referencias
- Holmes, M. Randall. «Alternative Axiomatic Set Theories» (en inglés). The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Consultado el 13-08-2011.
- Jech, Thomas (2003) (en inglés). Set Theory. Springer Monographs in Mathematics (3ª edición). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-44085-7.
- Levy, A. (1979) (en inglés). Basic Set Theory. Berlín, New York: Springer-Verlag.
- Weisstein, Eric W.. «Set Class» (en inglés). MathWorld. Consultado el 13-08-2011.
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