Fundamentos de la matemática

Los fundamentos de las matemáticas es un término a veces usado para ciertos campos de las matemáticas, como la lógica matemática, teoría de conjuntos axiomática, teoría de prueba, teoría de modelos y la teoría de recursividad. La búsqueda de fundamentos de las matemáticas es también una pregunta central de la filosofía de las matemáticas: ¿En cuál última base puede un fundamento matemático ser verdad?

Fundamentos filosóficos de las matemáticas

Resumen de las tres filosofías:

• Platonismo : Platonistas, como Kurt Gödel (1906- 1978), sostienen que los números son abstractos, objetos necesariamente existentes, independientes de la mente humana.
• Formalismo: Formalistas, como David Hilbert (1862- 1943), sostienen que las matemáticas no son ni más ni menos que un lenguaje matemático. Son simplemente una serie de juegos…
• Intuicionismo: Intuicionistas, como L. E. J. Brouwer (1882–1966), sostienen que las matemáticas son una creación de la mente humana. Los números, como personajes de cuentos de hadas, son simplemente entidades mentales, que no existirían sin que nunca hubieran algunas mentes humanas que pensaran en ellos.

Platonismo

La filosofía fundamental del realismo matemático platónico, ejemplificado por el matemático Kurt Gödel, propone la existencia del mundo de los objetos matemáticos independiente de los seres humanos; las verdades de estos objetos son descubiertos por seres humanos. Con este punto de vista, las leyes de la naturaleza y las leyes de las matemáticas tienen una posición similar, y la efectividad deja de ser irrazonable. No nuestros axiomas, pero el verdadero mundo de los objetos matemáticos constituye el fundamento. La pregunta obvia entonces es, ¿cómo entramos en ese mundo?

Formalismo

La filosofía fundamental del formalismo, ejemplificado por David Hilbert, está basado en la teoría axiomática de los conjuntos y la lógica formal. Prácticamente todos los teoremas matemáticos actualmente pueden ser formulados como teoremas de la teoría de los conjuntos. La verdad de un enunciado matemático, en este punto de vista, no es nada más que la reclamación de que el enunciado puede ser derivado de los axiomas de la teoría de los conjuntos, usando las reglas de la lógica formal.

Sólo el uso del formalismo no explica varias cuestiones: por qué debemos de usar axiomas que hacemos y no otros, por qué debemos emplear las reglas de la lógica que hacemos y no otras, por qué enunciados matemáticos verdaderos (como leyes de la aritmética) parecen ser verdad, etc. En algunos casos esto puede ser suficientemente contestadas a través del estudio de las teorías formales, en disciplinas como las matemáticas reversas y la teoría de complejidad computacional.

Los sistemas lógicos formales también pueden correr el riesgo de la incoherencia; con Peano aritmética, esto posiblemente se ha establecido con varias pruebas de coherencia, pero hay un debate sobre si son lo suficientemente significativas. El segundo de los Teoremas de incompletitud de Gödel establece que los sistemas lógicos de la aritmética no pueden contener una prueba válida de su propia coherencia. Lo que Hilbert quería hacer era probar un sistema lógico S que fuera coherente, basado en los principios P, que solo es formado por una pequeña parte de S. Pero Gödel comprobó que los principios P no podían ni siquiera comprobar que P fuera coherente, ¡por no hablar de sólo S!.

Intuicionismo

La filosofía fundamental del intuicionismo o constructivismo, ejemplificado al extremo por Brouwer y con más coherencia por Stephen Kleene, requiere pruebas para ser “constructivo” en la naturaleza – la existencia de un objeto puede ser demostrada, mas no inferida de una demostración de la imposibilidad de su inexistencia. Como una consecuencia inmediata de esto, el intuicionismo no acepta como válido el método de demostración conocido como reducción al absurdo.

Algunas teorías modernas en la filosofía de las matemáticas niegan la existencia de los fundamentos en su sentido original. Algunas teorías tienden a enfocarse en la práctica matemática, y a tener como objetivo el describir y analizar el verdadero trabajo de los matemáticos, como un grupo social. Otros tratan de crear una ciencia cognitiva a las matemáticas, enfocándose en la cognición humana como el origen de la confiabilidad en las matemáticas cuando son aplicadas al mundo real. Estas teorías pueden proponer la búsqueda de fundamentos sólo en el pensamiento humano, no en ningún objetivo afuera de la construcción. Este asunto se mantiene en discusión.

Logicismo

El logicismo es una de las escuelas de pensamiento en la filosofía de la matemática, que sostiene la teoría de que la matemática es una extensión de la lógica y que, por tanto, toda la matemática o parte de ella es reducible a la lógica. Bertrand Russell y Alfred North Whitehead defendieron esta teoría concebida por Gottlob Frege.

Véase también

• Teoría de categorías
• Teoría de tipos
• Teoría de conjuntos
• Teoría de la recursión
• Lógica matemática
• Teoría de la demostración
• Teoría de los modelos