Teoría de conjuntos

Teoría de conjuntos
Hipótesis del continuo. La colección de todos los conjuntos de números naturales P(N) tiene la llamada potencia del continuo: tantos elementos como (por ejemplo) puntos en una recta. Su estudio es uno de los principales problemas en la teoría de conjuntos.

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos. Los conjuntos son colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas, y son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.

Más aún, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática. La propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos.

En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, los razonamientos y técnicas de la teoría de conjuntos se apoyan en gran medida en la lógica matemática.

El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas "puras" en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana de conjuntos propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XX.

Contenido

Teoría básica de conjuntos

Artículo principal: Conjunto

La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos elementos, unos objetos matemáticos —como números o polígonos por ejemplo—, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta noción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos. La pertenencia de un elemento a a un conjunto A se indica como aA.

Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se indica como BA.

Ejemplos.
  • Los conjuntos de números más usuales en matemáticas son el conjunto de los números naturales N, el de los números enteros Z, el de los números racionales Q, el de los números reales R y el de los números complejos C. Cada uno es subconjunto del siguiente:

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}

  • El espacio tridimensional E3 es un conjunto de objetos elementales denominados puntos p, pE3. Las rectas r y planos α son conjuntos de puntos a su vez, y en particular son subconjuntos de E3, rE3 y αE3.

Álgebra de conjuntos

Artículo principal: Álgebra de conjuntos

Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:

  • Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto AB que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.
  • Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto AB que contiene todos los elementos comunes de A y B.
  • Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.
  • Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A que contiene todos los elementos que no pertenecen a A, pero están en el conjunto referencial.
  • Diferencia simétrica de los conjuntos A y B es la unión de A\B y de B\A. Con esta operación el conjunto potencia de S forma un grupo y con la intersección, un anillo.
  • Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer (segundo) elemento pertenece a A (a B).

Teoría axiomática de conjuntos

La teoría de conjuntos "informal" o "elemental" apela a la intuición para determinar como se comportan los conjuntos. Sin embargo, es sencillo plantear cuestiones acerca de las propiedades de estos que llevan a contradicción si se razona de esta manera, como la famosa paradoja de Russell. Históricamente esta fue una de las razones para el desarrollo de las teorías axiomáticas de conjuntos, siendo otra el interés en determinar exactamente qué enunciados acerca de los conjuntos necesitan que se asuma el polémico axioma de elección para ser demostrados.

Las teorías axiomáticas de conjuntos son colecciones precisas de axiomas escogidos para poder derivar todas las propiedades de los conjuntos con el suficiente rigor. Algunos ejemplos conocidos son:

Véase también

Bibliografía

Enlaces externos


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Mira otros diccionarios:

  • Teoría de conjuntos — La teoría de conjuntos es la rama de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor en el Siglo XIX …   Enciclopedia Universal

  • Teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel — La teoría de conjuntos de von Neumann Bernays Gödel (NBG) es una teoría de conjuntos axiomática. Su noción primitiva es la de clase, en lugar de conjunto como en ZF. A diferencia de otras teorías de conjuntos, NBG es finitamente axiomatizable.… …   Wikipedia Español

  • Teoría de conjuntos de Morse-Kelley — La teoría de conjuntos de Morse Kelley (MK) es una teoría axiomática de conjuntos. Es similar a la teoría de Von Neumann Bernays Gödel, pero MK es más potente y no son equivalentes. Contenido 1 Axiomas 1.1 Ontología y notación 1.2 Axiomas… …   Wikipedia Español

  • Número cardinal (teoría de conjuntos) — Este artículo trata sobre números cardinales en teoría de conjuntos axiomática. Para una introducción más básica, véase Número cardinal. Comparación de los cardinales numerable y continuo. Cada sucesión binaria, compuesta por una cantidad… …   Wikipedia Español

  • Número ordinal (teoría de conjuntos) — Este artículo trata sobre números ordinales en teoría de conjuntos axiomática. Para una introducción más básica, véase Número ordinal. Representación del ordinal ωω. Cada vuelta alrededor de esta espiral representa una potencia entera de ω: la… …   Wikipedia Español

  • Clase (teoría de conjuntos) — En teoría de conjuntos y sus aplicaciones en matemáticas, una clase es una colección de conjuntos (u otros objetos matemáticos) que no necesariamente es un conjunto. El concepto de clase aparece al intentar agrupar todos los conjuntos (u objetos) …   Wikipedia Español

  • Teoría del orden — La teoría del orden es una rama de la matemática que estudia varias clases de relaciones binarias que capturan la noción intuitiva del orden matemático. Este artículo da una introducción detallada a este campo e incluye algunas de las… …   Wikipedia Español

  • Teoría informal de conjuntos — La Teoría Informal de Conjuntos es una de las diversas teorías que se han sido desarrolladas en torno al debate de los fundamentos de matemáticas. Los conjuntos tienen una importancia fundamental en matemáticas; de hecho, de manera formal, la… …   Wikipedia Español

  • Teoría de categorías — En este artículo se detectaron los siguientes problemas: Necesita ser wikificado conforme a las convenciones de estilo de Wikipedia. Podría ser difícil de entender para lectores interesados en el tema. Por favor …   Wikipedia Español

  • Teoría de juegos — La teoría de juegos es un área de la matemática aplicada que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) y llevar a cabo procesos de decisión. Sus investigadores estudian las… …   Wikipedia Español

Compartir el artículo y extractos

Link directo
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”