Circunferencia osculatriz

Circunferencia osculatriz
Circunferencia osculatriz.

En geometría diferencial de curvas, la círcunferencia osculatriz (del latín osculari 'besar') o círculo osculador a una curva en un punto dado es una circunferencia cuyo centro se encuentra sobre la normal a la curva y tiene la misma curvatura que la curva dada en ese punto. El centro y el radio de la circunferencia osculatriz en un punto de la curva son llamados centro de curvatura y radio de curvatura de la curva en ese punto. El plano en el que está contenida la circunferecia osculatriz se denomina plano osculador.

La circunferencia osculatriz tiene con la otra curva un contacto de segundo orden en el punto considerado, o sea, las primeras y las segundas derivadas de ambas curvas son iguales.

Esta circunferencia, que es [[tangente]] en el punto dado a la curva fue llamado "circulum osculans" ("círculo que besa") por Leibniz.

Obtención

Una construcción geométrica de la circunferencia osculatriz fue descrita por Isaac Newton en su Principia:

There being given, in any places, the velocity with which a body describes a given figure, by means of forces directed to some common centre: to find that centre.
Isaac Newton, Principia; Proposition V. Problem I.

Dados tres puntos de una curva (no necesariamente plana), existe un único plano y una circunferencia contenida en este plano que contiene a los tres puntos. Si los puntos se toman suficientemente próximos entre sí, la circunferencia definida por la construcción anterior constituye una aproximación a la circunferencia osculatriz en el punto intermedio de los tres dados. Si se imagina un proceso de paso límite de tal manera que los tres puntos acaben coincidiendo, la circunferencia límite obtenida es precisamente la circunferencia osculatriz. Este proceso de límite es análogo al seguido para obtener la recta tangente a una curva haciendo coincidir dos puntos arbitrariamente cercanos.

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