Complejo simplicial

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En la matemática, un complejo simplicial es un tipo particular de espacio topológico construido mediante el pegado de puntos, segmentos de línea, triangulos, tetraedros y demás análogos de dimensiones superiores. Éste concepto no debe ser confundido con la noción abstracta de conjunto simplicial que surge en la moderna teoría simplicila homotópica

Un ejemplo de complejo simplicial. Este consiste en 17 puntos (0-simplejos), 22 aristas (1-simplejos), 8 triángulos (2-simplejos) y 1 tetraedro (3-simplejo).

Sean p_0, \ldots, p_k \in \mathbb{R}^n con k \ge 1 que están en posición general, la clausura convexa del conjunto \{ p_0, \ldots, p_k \} se llama k-simplejo de \mathbb{R}^n y se denota \langle p_0, \ldots, p_k\rangle . Se prueba sin dificultad que:

\langle p_0, \cdots, p_k \rangle = \{ a \in \mathbb{R}^n\ |\ a=\sum_{i=1}^k \lambda_ip_i \}

con \sum_{i=0}^k \lambda_i=1 y \lambda_i \ge 0 para todas las i

Los \lambda_i\, de la representación anterior se llaman coordenadas baricéntricas del punto a\,. Si tomamos \{p_{i_1}, \ldots, p_{i_l}\} \subseteq \{ p_0, \ldots, p_k\}, se dice que el r-simplejo \langle p_{i_1}, \cdots, p_{i_r}\rangle es una cara de \langle p_0, \cdots, p_k \rangle .

Observe que un 0-simplejo es un punto, un 1-simplejo es un segmento, un 2-simplejo es un triángulo y un 3-simplejo es un tetraedro.

Un complejo simplicial (finito) es un conjunto finito de simplejos K\, de \mathbb{R}^n que cumple las dos condiciones siguientes:

    1. Si un simplejo pertenece a K\,, entonces todas sus caras pertenecen a K\,.
    2. Si dos simplejos de K\, se cortan, su intersección es una cara común.

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