Congruencia de Mirimanoff

En teoría de números, una congruencia de Mirimanoff es una serie de expresiones en aritmética modular tales que, si se cumplen, conllevan la veracidad del último teorema de Fermat. Ya que el teorema ha sido demostrado, estas expresiones son de significancia histórica, ya que los polinomios de Mirimanoff son interesantes por derecho propio.

Definición

El n-ésimo polinomio de Mirimanoff para el primo p es

ϕ_n(t) = 1^{n − 1}t + 2^{n − 1}t² + ... + (p − 1)^{n − 1}t^{p − 1}.

En términos de estos polinomios, si t es uno de estos seis valores: {-X/Y, -Y/X, -X/Z, -Z/X, -Y/Z, -Z/Y} donde X^p+Y^p+Z^p=0 es una solución al Último teorema de Fermat, entonces

• φ_p-1(t) ≡ 0 (mod p)
• φ_p-2(t)φ₂(t) ≡ 0 (mod p)
• φ_p-3(t)φ₃(t) ≡ 0 (mod p)

...

• φ_(p+1)/2(t)φ_(p-1)/2(t) ≡ 0 (mod p)

Otras congruencias

Mirimanoff también demostró lo siguiente:

• Si un número primo p no divide a uno de los siguientes numeradores de los números de Bernoulli B_p-3, B_p-5, B_p-7 o B_p-9, entonces el primer caso del Último teorema de Fermat, donde p no divide a X, Y or Z en la ecuación X^p+Y^p+Z^p=0, es cierto.
• Si el primer caso del Último teorema de Fermat no se cumple para el primo p, entonces 3^p-1 ≡ 1 (mod p²). Un número primo con esta propiedad es a veces llamado primo de Mirimanoff, en analogía con los números de Wieferich, que son números primos tales que 2^p-1 ≡ 1 (mod p²).

Referencias

• Paulo Ribenboim, 13 Lectures on Fermat's Last Theorem, Springer, 1979
• Agoh, Takashi. «Some variations and consequences of the Kummer–Mirimanoff congruences» (en inglés) (PDF). Consultado el 2 de abril de 2011.