Constante de Apéry

Constante de Apéry

En matemáticas, la constante de Apéry es un número curioso que aparece en diversas situaciones. Se define como el número ζ(3),

\zeta(3)=1+\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} +\frac{1}{4^3} + \ldots

donde ζ es la función zeta de Riemann. Y tiene un valor de

\zeta(3)=1,20205\; 69031\; 59594\; 28539\; 97381\; 61511\; 44999\; 07649\; 86292\,\ldots

Contenido

Teorema de Apéry

Este valor debe su nombre a Roger Apéry (1916-1994), quien en 1977 probó que era irracional. Este resultado es conocido como "Teorema de Apéry". La prueba original es compleja y pruebas más cortas han sido halladas usando los Polinomios de Legendre.

El resultado ha permanecido bastante aislado: poco se sabe sobre ζ(n) para otros números impares n.

Representación por series

En 1772, Leonhard Euler dio la representación de la serie

\zeta(3)=\frac{\pi^2}{7} \left[ 1-4\sum_{k=1}^\infty \frac {\zeta (2k)} {(2k+1)(2k+2) 2^{2k}} \right]

que fue posteriormente redescubierta varias veces, incluyendo Ramaswami en 1934.

Simon Plouffe dio numerosas series, que son notables en cuanto a que pueden dar varios dígitos por repetición. Estas incluyen:

\zeta(3)=\frac{7}{180}\pi^3 -2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} -1)}

y

\zeta(3)= 14 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \sinh(\pi n)} -\frac{11}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} -1)} -\frac{7}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} +1)}

Muchas series sumatorias han sido encontradas, incluyendo:

\zeta(3) = \frac{8}{7} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^3}
\zeta(3) = \frac{4}{3} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(k+1)^3}
\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{(n!)^2}{n^3 (2n)!}
\zeta(3) = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{56n^2-32n+5}{(2n-1)^2} \frac{((n-1)!)^3}{(3n)!}
\zeta(3)=\frac{8}{7}-\frac{8}{7}\sum_{t=1}^\infty \frac{{\left( -1 \right) }^t\,2^{-5 + 12\,t}\,t\, \left( -3 + 9\,t + 148\,t^2 - 432\,t^3 - 2688\,t^4 + 7168\,t^5 \right) \, {t!}^3\,{\left( -1 + 2\,t \right) !}^6}{{\left( -1 + 2\,t \right) }^3\, \left( 3\,t \right) !\,{\left( 1 + 4\,t \right) !}^3}
\zeta(3) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{205n^2 + 250n + 77}{64} \frac{(n!)^{10}}{((2n+1)!)^5}

y

\zeta(3) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{P(n)}{24} \frac{((2n+1)!(2n)!n!)^3}{(3n+2)!((4n+3)!)^3}

donde

P(n) = 126392n^5 + 412708n^4 + 531578n^3 + 336367n^2 + 104000n + 12463.\,

Algunas de estas han sido utilizadas para calcular varios millones de dígitos de la constante de Apéry.

Otras fórmulas

La constante de Apéry puede expresarse mediante una función poligamma de segundo orden, como

\zeta(3) = -\frac{1}{2} \, \psi^{(2)}(1).

Referencias


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