Constante de Apéry

Constante de Apéry

En matemáticas, la constante de Apéry es un número curioso que aparece en diversas situaciones. Se define como el número ζ(3),

\zeta(3)=1+\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} +\frac{1}{4^3} + \ldots

donde ζ es la función zeta de Riemann. Y tiene un valor de

\zeta(3)=1,20205\; 69031\; 59594\; 28539\; 97381\; 61511\; 44999\; 07649\; 86292\,\ldots

Contenido

Teorema de Apéry

Este valor debe su nombre a Roger Apéry (1916-1994), quien en 1977 probó que era irracional. Este resultado es conocido como "Teorema de Apéry". La prueba original es compleja y pruebas más cortas han sido halladas usando los Polinomios de Legendre.

El resultado ha permanecido bastante aislado: poco se sabe sobre ζ(n) para otros números impares n.

Representación por series

En 1772, Leonhard Euler dio la representación de la serie

\zeta(3)=\frac{\pi^2}{7} \left[ 1-4\sum_{k=1}^\infty \frac {\zeta (2k)} {(2k+1)(2k+2) 2^{2k}} \right]

que fue posteriormente redescubierta varias veces, incluyendo Ramaswami en 1934.

Simon Plouffe dio numerosas series, que son notables en cuanto a que pueden dar varios dígitos por repetición. Estas incluyen:

\zeta(3)=\frac{7}{180}\pi^3 -2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} -1)}

y

\zeta(3)= 14 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \sinh(\pi n)} -\frac{11}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} -1)} -\frac{7}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} +1)}

Muchas series sumatorias han sido encontradas, incluyendo:

\zeta(3) = \frac{8}{7} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^3}
\zeta(3) = \frac{4}{3} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(k+1)^3}
\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{(n!)^2}{n^3 (2n)!}
\zeta(3) = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{56n^2-32n+5}{(2n-1)^2} \frac{((n-1)!)^3}{(3n)!}
\zeta(3)=\frac{8}{7}-\frac{8}{7}\sum_{t=1}^\infty \frac{{\left( -1 \right) }^t\,2^{-5 + 12\,t}\,t\, \left( -3 + 9\,t + 148\,t^2 - 432\,t^3 - 2688\,t^4 + 7168\,t^5 \right) \, {t!}^3\,{\left( -1 + 2\,t \right) !}^6}{{\left( -1 + 2\,t \right) }^3\, \left( 3\,t \right) !\,{\left( 1 + 4\,t \right) !}^3}
\zeta(3) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{205n^2 + 250n + 77}{64} \frac{(n!)^{10}}{((2n+1)!)^5}

y

\zeta(3) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{P(n)}{24} \frac{((2n+1)!(2n)!n!)^3}{(3n+2)!((4n+3)!)^3}

donde

P(n) = 126392n^5 + 412708n^4 + 531578n^3 + 336367n^2 + 104000n + 12463.\,

Algunas de estas han sido utilizadas para calcular varios millones de dígitos de la constante de Apéry.

Otras fórmulas

La constante de Apéry puede expresarse mediante una función poligamma de segundo orden, como

\zeta(3) = -\frac{1}{2} \, \psi^{(2)}(1).

Referencias


Wikimedia foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Mira otros diccionarios:

  • Constante d'Apery — Constante d Apéry La constante d Apéry est la valeur de la fonction zêta de Riemann en l entier naturel 3. . Elle porte le nom de Roger Apéry, qui a montré en 1977 que ce nombre est irrationnel (Théorème d Apéry). On ne sait toujours pas si ce… …   Wikipédia en Français

  • Constante d'Apéry — En mathématiques, la constante d Apéry est un nombre qui apparaît dans diverses situations. Par ailleurs, elle apparaît dans différents problèmes de physique, dont les termes de deuxième et troisième ordre du rapport gyromagnétique de l électron… …   Wikipédia en Français

  • Constante zeta — En matemática, una constante zeta es el resultado de la función zeta de Riemann cuando esta se aplica sobre un número entero. Contenido 1 La función zeta de Riemann en 0 y en 1 2 Enteros positivos 2.1 Enteros positivos pares …   Wikipedia Español

  • Constante mathématique — Table de constantes mathématiques Cet article donne une liste de certaines constantes mathématiques. Typiquement, une constante en mathématique est un élément du corps des nombres réels ou des nombres complexes. À la différence des constantes… …   Wikipédia en Français

  • Roger Apéry — (Rouen, 14 novembre 1916 – Caen, 18 décembre 1994) est un mathématicien français d origine grecque qui a effectué la plus grande partie de sa carrière à l université de Caen. Sommaire 1 Biographie 2 Prix et récompenses …   Wikipédia en Français

  • Roger Apery — Roger Apéry Roger Apéry (Rouen, 14 novembre 1916 – Caen, 18 décembre 1994) est un mathématicien français d origine grecque qui a effectué la plus grande partie de sa carrière à l université de Caen. Il est mobilisé au début de la… …   Wikipédia en Français

  • Théorème d'Apéry — Le théorème d Apéry, dû au mathématicien Roger Apéry, stipule que le nombre est irrationnel, où ζ est la fonction zêta de Riemann. Ce nombre est également appelé constante d Apéry. Ce résultat a été obtenu par Apéry en 1977[1],[2] …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

  • Fonction zêta de Riemann — La fonction zêta de Riemann ζ(s) dans le plan complexe. La couleur d un point s code la valeur de ζ(s) : des couleurs vives indiquent des valeurs proches de 0 et la nuance indique l argument de la valeur. Le point blanc pour s = 1… …   Wikipédia en Français

Compartir el artículo y extractos

Link directo
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”