Ecuación de Riccati

Ecuación de Riccati: Ecuación de Riccati

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La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati, con el fin de analizar la hidrodinámica.

Corresponde a una ecuación de la forma:

$\frac{dy}{dx} + p(x)y + q(x)y^2 = f(x)$

Esta ecuación se resuelve si previamente se conoce una solución particular, digamos $y_1(x)\,\!$ .

Conocida dicha solución, se hace el cambio:

$y(x)= z(x) + y_1(x)\,\!$

y reemplazando, se obtiene:

$\frac{dy}{dx}=-p(x)y-q(x)y^2 +f(x)=\frac{dz(x)}{dx}+ \frac{dy_1}{dx}$

es decir:

$-p(x)y -q(x)y^2+ f(x)=\frac{dz}{dx} -p(x)y_1(x) - q(x)y_1(x)^2 +f(x)$

$\Rightarrow \frac{dz}{dx} = p(x) (y_1-y)+ q(x)(y_1^2-y^2)$

lo que equivale a:

$\frac{dz}{dx}=-p(x)z-q(x) (z^2+2zy_1)$

$\Rightarrow \frac{dz}{dx}=-(p(x) +2q(x)y_1(x))z -q(x)z^2$

que corresponde a una ecuación diferencial de Bernoulli.

Obsérvese que si se hace el cambio

$y(x)=y_1(x) + \frac{1}{z(x)}$ ,

esto nos lleva directamente a una ecuación lineal diferencial de primer orden.

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Categorías: Ecuaciones diferenciales ordinarias | Mecánica de fluidos

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