Fórmulas de Newton-Cotes

Fórmulas de Newton-Cotes

Fórmulas de Newton-Cotes

En análisis numérico las fórmulas de Newton-Cotes (nombradas así por Isaac Newton y Roger Cotes) son un grupo de fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio, en las cuales se evalúa la función en puntos equidistantes, para así hallar un valor aproximado de la integral. Cuanto más intervalos se divida la función mas preciso será el resultado.

Este metodo es eficiente si se conocen los valores de la función en puntos igualmente separados. Si se pueden cambiar los puntos en los cuales la función es evaluada otros métodos como la cuadratura de Gauss son probablemente mas eficientes.

Contenido

Descripción

Para la integración numérica de \int_a^b f(x) dx utilizando las fórmulas de Newton-Cotes se subdivide el intervalo [a,b] en n intervalos iguales. Así se obtienen n + 1 puntos donde se evaluará la función:

a \leq x_0 < x_1 < \ldots < x_n \leq b.

Si a = x0 y b = xn se denominan fórmulas cerradas de Newton-Cotes ya que los intervalos de los extremos están incluidos en la integral, si por el contrario no se tienen en cuenta se denominan fórmulas abiertas de Newton-Cotes. Para el calculo se utilizará la siguiente función:

p(x) = \sum_{i=0}^n f(x_i) L_{in}(x)

donde:

L_{in}(x) = \frac{(x-x_0)\cdots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots(x-x_n)} {(x_i-x_0)\cdots(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots(x_i-x_n)}

es el polinomio de Lagrange, por lo tanto se deduce que

\int_a^b p(x) dx = (b-a) \sum_{i=0}^n f(x_i) \frac{1}{(b-a)} \int_a^b L_{in}(x) dx.

Esta función se expresa de la siguiente forma

\int_a^b f(x) dx \approx \int_a^b p(x) dx = (b-a) \sum_{i=0}^n w_i f(x_i)

Donde los "pesos" wi están definidos por

w_i = \frac{1}{(b-a)} \int_a^b L_{in}(x) dx

Fórmulas cerradas de Newton-Cotes

Estas son algunas de las fórmulas cerradas de Newton-Cotes.

Regla del trapecio
Ilustración de la regla del trapecio.

La regla del trapecio consiste en hallar la integral aproximada de una función a traves de un polinomio de primer grado, es decir uniendo mediante una recta los puntos en donde se evaluara la función.

\int_a^b f(x) dx \approx (b-a) \frac{f_1+f_2}{2}

Y el error es:

-\frac{(b-a)^3}{12}\,f^{(2)}(\xi)

Siendo ξ un numero entre a y b.

%Regla del trapecio

%Se define la funcion 

f = @(x) cos(x).^2 + x;

%Se definen los limites de la integral

a = 0;
b = 3;

%Se define el numero de intervalos

nint = 500 ;

int   = zeros(1,nint,'single');

for n = 1:nint
   X=linspace(a,b,n+1)';
   h=(b-a)/n;
   suma=0;
   for i = 2:n
      suma = suma + f(X(i));
   end
   int(n)   = (h/2)*(f(X(1))+(2*suma)+f(X(n+1)));
end
int(end)

Regla de Simpson

Ilustración de la regla de Simpson.

La regla de Simpson (nombrada así por Thomas Simpson) halla la integral aproximada de una función mediante un polinomio de segundo o tercer grado.

Regla de Simpson 1/3

La regla de Simpson 1/3 utiliza tres puntos consecutivos en donde se evalúa la función a través de un polinomio de segundo grado.

\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6} (f_0 + 4 f_1 + f_2)

Y el error es:

-\frac{(b-a)^5}{2880}f^{(4)}(\xi),

Siendo ξ un numero entre a y b.

%Regla de Simpson 1/3

%Se define la funcion 

f = @(x) cos(x).^2 + x;

%Se definen los limites de la integral

a = 0;
b = 3;

%Se define el numero de intervalos

nint = 500 ;

int   = zeros(1,nint,'single');

for n = 1:nint
   X=linspace(a,b,n+1)';
   h=(b-a);
   suma1=0;
   for i = 2:2:n
      suma1 = suma1 + f(X(i));
   end
   suma2=0;
     for j = 1:2:n-1
      suma2 = suma2 + f(X(j));
     end
   int(n)   = (h*(f(X(1))+(4*suma1)+(2*suma2)+f(X(n+1))))/(3*(n+1));
end

int(end)
Regla de Simpson 3/8

La regla de Simpson 3/8 utiliza cuatro puntos consecutivos en donde se evalúa la función a través de un polinomio de tercer grado.

\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{8} (f_0 + 3 f_1 + 3 f_2 + f_3).

Y el error es:

-\frac{(b-a)^5}{6480}f^{(4)}(\xi),

Siendo ξ un numero entre a y b.

%Regla de Simpson 3/8

%Se define la funcion 

f = @(x) cos(x).^2 + x;

%Se definen los limites de la integral

a = 0;
b = 3;

%Se define el numero de intervalos

nint = 500 ;

int   = zeros(1,nint,'single');

for n = 1:nint
    X=linspace(a,b,n+1)';
    h=(b-a);
    suma1=0;
    for i = 2:3:n-1
        suma1 = suma1 + f(X(i));
    end
    suma2=0;
    for j = 3:3:n
        suma2 = suma2 + f(X(j));
    end
    suma3=0;
    for k = 4:3:n-2
        suma3 = suma3 + f(X(k));
    end
    int(n)   = (h*(f(X(1))+(3*suma1)+(3*suma2)+(2*suma3)+f(X(n+1))))/(8/3*(n+1));
end

int(end)
Regla de Boole

La regla de Boole (llamada así debido a George Boole) utiliza cinco puntos consecutivos igualmente separados para calcular la integral aproximada de la función utilizando un polinomio de cuarto grado.

\frac{b-a}{90} (7 f_0 + 32 f_1 + 12 f_2 + 32 f_3 + 7 f_4)

Y el error es:

-\frac{(b-a)^7}{1935360}\,f^{(6)}(\xi)

Siendo ξ un numero entre a y b.

%Regla de Boole

%Se define la funcion 

f = @(x) cos(x).^2 + x;

%Se definen los limites de la integral

a = 0;
b = 3;

%Se define el numero de intervalos

nint = 500 ;

int   = zeros(1,nint,'single');

for n = 1:nint
    X=linspace(a,b,n+1)';
    h=(b-a);
    suma1=0;
    for i = 2:4:n-2
        suma1 = suma1 + f(X(i));
    end
    suma2=0;
    for j = 3:4:n-1
        suma2 = suma2 + f(X(j));
    end
    suma3=0;
    for k = 4:4:n
        suma3 = suma3 + f(X(k));
    end
    suma4=0;
    for l = 5:4:n-3
        suma4 = suma4 + f(X(l));
    end
    int(n)   = (h*((9*f(X(1)))+(32*suma1)+(12*suma2)+(32*suma3)+(14*suma4)+(7*f(X(n+1)))))/(90/4*(n+1));
end

int(end)

Fórmulas abiertas de Newton-Cotes

Estas son algunas de las fórmulas abiertas de Newton-Cotes.

Regla del punto medio
Ilustración de la regla del punto medio.

En este método se divide la función en rectángulos, los cuales deben tener una altura igual al valor de la función en el punto medio. Así se calcularía la integral aproximada mediante un polinomio de grado cero.

\int_a^b f(x) dx \sim (b-a) f(\frac{a+b}{2})

Y el error es:

\frac{(b-a)^3}{24}\,f^{(2)}(\xi)

Siendo ξ un numero entre a y b.

Reglas compuestas

Las fórmulas de Newton-Cotes aumentan su precision si se aumenta el numero de intervalos en que se divida la función, dicho de otra forma mientras los intervalos sean cada vez mas pequeños. Como el intervalo [a,b] generalmente es grande hay métodos que subdividen este intervalo en subintervalos mas pequeños y a estos se les aplica las Fórmulas de Newton-Cotes, a la suma de estos subintervalos se le conoce como reglas compuestas. Cabe anotar que la precisión aumenta pero a costa de aumentar la eficiencia del método en cuanto al tiempo de duración y a posibles errores de redondeo.

Regla del trapecio compuesta

Este es un ejemplo de regla compuesta.

\int_a^b f(x) dx \sim \frac{b-a}{n} \left( \frac{f(a) + f(b)}{2} + \sum_{k=1}^{n-1} f\left(a + k \frac{b-a}{n}\right) \right)

Donde \ a + kh son los subintervalos

siendo \ h = \frac {b-a}{n}

y \ k = 0, 1, 2, \ldots, n-1.

%Regla del trapecio compuesta

%Se define la funcion 

f = @(x) cos(x).^2 + x;

%Se definen los limites de la integral

a = 0;
b = 3;

%Se define el numero de intervalos

nint = 500 ;

int   = zeros(1,nint,'single');

for n = 2:nint
    h=(b-a)/n;
    int(n) = (f(a)+f(b))/2;
    for k = 1:n-1
        x=a+(k*h);
        int(n)=int(n)+f(x);
    end
    int(n)=h*int(n);
end

int(end)

Referencias

  • Programación y Métodos Numéricos: Integración Numérica, Fórmulas de Newton-Cotes, Fórmulas de Gauss. Prof. Carlos Conde Lázaro Prof. Arturo Hidalgo López Prof. Alfredo López. Marzo, 2007. Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos – ETSIM - UPM


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