Impedancia acústica

La impedancia acústica (Z) es una propiedad de estado intensiva. Es la resistencia que opone un medio a las ondas que se propagan sobre este y por lo tanto es equívalente a la impedancia eléctrica, es decir una forma de disipación de energía de las ondas que se desplazan en un medio. Se define como la razón entre la presión sonora (p) y la velocidad de las partículas (v) de un medio material.

$Z = \frac{p}{v}$

La impedancia característica de un material puede calcularse como el producto entre la densidad ( $ρ$ ) y la velocidad del sonido (c) en el material (c=344m/s, únicamente cuando las ondas sonoras se propagan en el aire, no cuando se propagan en otros materiales como cuerdas o barras).

$Z_0 = \rho \cdot c$

Es importante no confundir v (velocidad de las partículas) con c (velocidad del sonido).

El nombre de 'impedancia acústica' viene de la analogía con la ley de Ohm de teoría de circuitos, con lo que se enuncia una 'ley de Ohm acústica', en la que la presión sonora juega el papel de un potencial eléctrico y la velocidad v el de una corriente eléctrica.

Otra relación útil es:

$Z = \frac{J}{v^2} = \frac{p^2}{J}$

donde J es la intensidad sonora y juega un papel análogo a aquel de la potencia eléctrica.

Contenido

1 Impedancia de un tubo unidimensional
2 Impedancia de un Oscilador Armónico
3 Impedancia de un campo acústico bidimensional
4 Unidades
5 Véase también

Impedancia de un tubo unidimensional

Consideremos un campo acústico unidimensional, que se extiende sobre eje $x$ y se encuentra excitado por un pistón, el cual oscila armónicamente según la ley $ξ = ξ 0 e j ω t$ . El campo acústico en cuestión respeta una ecuación de onda del tipo:

$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 p }{\partial t^2} - \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} = 0$

Por supuesto, si el fluido se considera sin viscosidad y además existe una ausencia de movimiento macroscópico de sus partículas, éste puede ser modelado por una simplificación de la ecuación de Navier-Stokes.

$\rho \frac{\partial u}{\partial t}=-\frac{\partial p}{\partial x}$

Evidentemente, la solución del campo acústico está determinada por una Condición de frontera de Neumann, es decir, como el fluido en inmediato contacto con el pisto comparte la velocidad de éste, la derivada parcial de la presión respecto a $x$ es un dato en la frontera $x = 0$ . Esto se conoce como condición de frontera.

Por ser $p$ una onda viajante, ésta debe tener la forma $p = p 0 e j (ω t - k x)$ . Esto nos permite poner en evidencia la relación:

$\left( p =p_0 e^{j(\omega t - k x)} \land \xi=\xi_0 e^{j\omega t} \land v=v_0 e^{j\omega t} = j \omega \xi \right) \Rightarrow \rho j \omega v_0 e^{j \omega t} = j k p_0 e^{j \omega t}$

Por lo cual podemos escribir la intensidad del campo acústico como:

$p_0=\frac{\rho \omega v_0}{k}$

o también gracias a $k c = ω$ :

p 0 = ρ c v 0

El campo exitante, es decir, el pistón, se encuentra ejerciendo una presión $p 0$ sobre un fluido, y logra darle a éste una velocidad $v 0$ , observase que la impedancia acústica es:

$Z = \frac{p}{v} = \rho c$

Impedancia de un Oscilador Armónico

Consideremos un pistón conectado a un resorte y a un amortiguador, a manera de oscilador armónico lineal, el cual posee una superficie bañada por un fluido el cual sirve de medio para el campo acústico $p = p 0 e j (ω t - k x)$ el cual forzará al oscilador. El campo acústico sufrirá un rebote al chocar contra el pistón, por lo cual es correcto considerar a éste como

p = p 0 e j (ω t - k x) + p r e j (ω t + k x)

el campo acústico está igualmente excitado por el pistón, y se cumple la relación

$\rho \frac{\partial u}{\partial t}=-\frac{\partial p}{\partial x}$

por lo cual podemos escribir en $x = 0$ :

$\rho \frac{d^2 \xi}{d t^2}=-\left( \frac{\partial p}{\partial x}\right)_{x=0}$

$\rho \ddot{\xi}=j\left( p_0 - p_r \right) k$

Entonces el campo acústico está dado por:

$p(x,t)=p_o \left( e^{-jk} + e^{jk} \right) e^{j\omega t} + \frac{j \rho c \ddot{\xi}}{\omega} e^{j(\omega t + k x)}$

en $x = 0$ tenemos que la ecuación del oscilador es:

$m \ddot{\xi}+r\dot{\xi}+s\xi=2 p_0 e^{j\omega t} + \frac{j \rho c \ddot{\xi}}{\omega}$

La solución de esta ecuación diferencial lineal debe ser forzosamente $ξ = ξ 0 e j ω t$ . Por lo cual:

$\xi_0 \left[ -m \omega^2 + j\omega r + s + j \omega \rho c\right]=2p_o A$

Por ser $\xi_0=\frac{v_0}{j \omega}$

$Z = \frac{p}{v} = \left( \frac{-m \omega^2 + s}{j \omega} \right) +r + \rho c$

Impedancia de un campo acústico bidimensional

Supongamos una placa infinita que excita a un fluido gracias a que en ésta viaja una onda monocromática, la cual describe al campo de velociades como

$v=v_0 e^{j(\omega_0 - k_x x)}$

Ésta será la condición de contorno sobre el medio acústico perteneciente al semiplano $y > 0$ , ya que las partículas en inmediato contacto con la placa deben compartir la velocidad de ésta. El campo acústico está regido por la ecuación:

$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 p}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 p }{\partial x^2} - \frac{\partial^2 p }{\partial y^2} = 0$

Unidades

La impedancia acústica (Z) se mide en Pa·s/m.

Para las otras magnitudes empleadas arriba:

p (presión sonora): se mide en N/m² = Pa = Pascal.
v (velocidad de las partículas): se mide en m/s.
ρ (densidad del aire): se mide en kg/m³
J (intensidad sonora): se mide en W/m².

Véase también

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Acústica

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