Integración por sustitución trigonométrica

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La integración por sustitución trigonométrica sirve para integrar funciones que tienen la forma

$\sqrt {a^2 - u^2}$ , $\sqrt{a^2 + u^2}$ y $\sqrt{u^2 - a^2}$

Este método se basa en el uso de triángulos rectángulos, el teorema de Pitágoras e identidades trigonométricas.

En el caso general la integral a resolver es:

$\int R (x,\sqrt{ax^2+bx+c}) dx$

Simplifiquemos paso a paso el termino de la raíz, primeramente sacaremos $a$ factor común, y operaremos para poder dejarlo como suma de cuadrados.

$\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a\cdot \left ( x^2+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a} \right )}=\sqrt{a\cdot \left ( x^2+2\cdot \frac{bx}{2a}+\frac{c}{a} \right )}=\sqrt{a\cdot \left ( x^2+2\cdot \frac{bx}{2a}+\frac{c}{a}+\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 -\left ( \frac{b}{2a} \right )^2 \right )}=$

$=\sqrt{a\cdot \left ( \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2+ \left ( \frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2} \right ) \right )}=\sqrt{a\cdot \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2+c-\frac{b^2}{4a}}$

De esta forma estaremos en tres situaciones posibles:

$a > 0$ Λ $c-\frac{b^2}{4a}>0$ es decir: $\sqrt{m^2 \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2+n^2}$
$a > 0$ Λ $c-\frac{b^2}{4a}<0$ es decir: $\sqrt{m^2 \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2-n^2}$
$a < 0$ Λ $c-\frac{b^2}{4a}>0$ es decir: $\sqrt{n^2-m^2 \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^2}$

teniendo la forma las ecuaciones conocidas: con

Estos los cambios que hay que realizar según la situación:

$\sqrt{u^2+n^2};\quad u=n\cdot \tan t$
$\sqrt{u^2-n^2};\quad u=n\cdot \sec t$
$\sqrt{n^2-u^2};\quad u=n\cdot \sin t$

La integral de esta forma, se transforma en una integral trigonométrica en $t$ , se resuelve y se deshace el cambio.

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