Métodos de integración

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Se entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales usadas para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función.

Así, dada una función f(x), los métodos de integración son técnicas cuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar una función F(x) tal que

$F(x) = \int f(x)\,\mathrm{d}x$ ,

lo cual, por el teorema fundamental del cálculo equivale a hallar una función F(x) tal que f(x) es su derivada:^[1]

$\frac{d\,F(x)}{dx} = f(x)$ .

Integración directa

En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la antiderivada.

Ejemplo: Calcular la integral indefinida $\int \sec^2(x) \, dx$ .; En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de $tan(x)$ es $sec 2 (x)$ . Por tanto: $\int \sec^2(x)\,dx = \tan(x)+ C.$

Ejemplo: Calcular la integral indefinida $\int\frac{1}{x}\, dx$ .; Una fórmula estándar sobre derivadas establece que $\frac{d\, \ln(x)}{dx} = \frac{1}{x}$ . De este modo, la solución del problema es $\int \frac{1}{x}\, dx = \ln(x)+ C$ .

No obstante, puesto que la función $\frac{1}{x}$ esta definida en los números negativos también ha de estarlo su integral, así que, la integral escrita de una forma rigurosa sería ln(|x|)

Método de integración por sustitución

El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.

Procedimiento práctico

Supongamos que la integral a resolver es:

$\int^3_{-2} x \cos (2x^2+3) dx$

En la integral reemplazamos $\ 2x^2+3$ con ( $u$ ):

$\int^3_{-2} x \cos (u) dx$ (1)

Ahora necesitamos sustituir también $\ dx$ para que la integral quede sólo en función de $\ u$ :

Tenemos que $\ 2x^2+3=u$ por tanto derivando se obtiene $\ 4x dx=du$

Se despeja $\ dx=\frac{du}{4x}$ y se agrega donde corresponde en (1):

$\int^3_{-2} x \cos (u) \frac{du}{4x}$

Simplificando:

$\int^3_{-2} \cos (u) \frac{du}{4}$

Debemos considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno.

Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva debemos modificar los límites de integración. Sustituimos x por el límite de integración y obtenemos uno nuevo.

En este caso, como se hizo $\ u=2x^2+3$ :

$u_1=2(-2)^2 + 3 = 11 \,\!$ (límite inferior)

$u_2=2(3)^2 + 3 = 21 \,\!$ (límite superior)

Luego de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:

$\frac{1}{4} \int^{21}_{11} \cos (u) du = \frac{1}{4} (\sin(21) - \sin(11))$

De interés

Supongamos ahora que la integral a resolver es:

$\int \frac {1}{5+ 3\cos (x)} dx$

Cuando las integrales son de tipo racional e involucra funciones trigonométricas, dígase: $\ \sin (x)$ y $\ \cos (x)$ la sustitución conveniente resulta ser $\ u=\tan (x/2)$ :

$\ \sin (x/2)= \frac {u}{\sqrt {1+ u^2}}$ , $\ \cos (x/2)= \frac {1}{\sqrt {1+ u^2}}$

Entonces (por Teorema de la suma y la resta) $\ \cos (x)= \cos^2 (x/2) - \sin^2 (x/2) = \frac {1-u^2}{1+u^2}$

por otra parte $\ du = \frac {1}{2} \sec^2 (x/2) dx$ o $\ dx = 2 \cos^2 (x/2) du = \frac {2 du}{1 + u^2}$

la integral queda después de dicha sustitución:

$\int \frac {du}{u^2 + 4} = \frac {1}{2} \arctan (u/2) + c = \frac {1}{2} \arctan (\frac {1}{2}\tan (x/2)) + c$

Método de integración por partes

El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:

Regla mnemotécnica: "Un Día Vi Una Vaca sin rabo (menos integral) Vestida De Uniforme".

Eligiendo adecuadamente los valores de $\ u$ y $\ dv$ , puede simplificarse mucho la resolución de la integral. $\int_a^b u dv = \left. uv\right|_a^b - \int_a^b vdu$ .

$\ d(uv) = u dv + v du$

$\int_a^b u (dv) = uv - \int_a^b vdu$ .

Existe una regla mnemotécnica para recordar la integración por partes, la cual dice así:

$\int_a^b u dv = uv - \int_a^b v du$ .

"Sentado ( $\ integral$ ) un ( $\ u$ ) día vi ( $\ dv$ ) (=) un ( $\ u$ ) valiente ( $\ v$ ) soldado ( $\ integral$ ) vestido ( $\ v$ ) de uniforme ( $\ du$ )" .

"Sentado un día vi un valiente soldado vestido de uniforme" . "Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme". "Una vaca menos la vaca de uno" "un (u) viejo (v) soldado(-integral) vestido (v) de uniforme (du). solo un dia vi=un valiente-soldado vestido de uniforme

"Sentado ( $\ integral$ ) un ( $\ u$ ) día vi ( $\ dv$ ) una vaca ( $\ uv$ ) sin ( $\ -$ ) cola ( $\ integral$ ) vestida ( $\ v$ ) de uniforme ( $\ du$ )"

Eligiendo adecuadamente los valores de $\ u$ y $\ dv$ , puede simplificarse mucho la resolución de la integral.

Para elegir la función $\ u \$ se puede usar una de las siguiente reglas mnemotécnicas:

Arcoseno, arcocoseno..., Logarítmicas, Polinómicas, Exponenciales, Seno, coseno, tangente... ⇒ A L P E S.

Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ALPES.
Inversas trigonométricas, Logarítmicas, Algebráicas, Trigonométricas, Exponenciales. ⇒ I L A T E.

Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ILATE.
Inversas trigonométricas, Logarítmicas, Potenciales, Exponenciales, Trigonométricas ⇒ I L P E T

Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ILPET.

Integrales de funciones trigonométricas

Integral que contiene potencias de senos y cosenos $\int \sin^{n}x\cos^{m}xdx$

En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene sólo un factor seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o sólo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de seno).
La identidad $sin 2 x$ $+$ $cos 2 x$ $=$ $1$ permite convertir de una parte a otra entre potencias pares de seno y coseno.

Tendremos 3 casos

Cuando n es impar

Cuando $\scriptstyle n=2k+1$ , podemos apartar un factor del seno y sustituirlo por la identidad $sin 2 x = 1 - c o s 2 x$ para poder expresar los factores restantes en términos del coseno:

Al tener el integral de esta forma se puede resolver por medio de sustitución haciendo $u = c o s (x)$ , $d u = - s e n (x) d x$ . Como en la expresion no tenemos un $- s e n (x) d x$ multiplicamos ambos lados por $* ( - 1)$ y nos queda la expresión $- d u = s e n (x) d x$ que ya podemos sustituir:

Cuando m es impar

Cuando $m = 2 k + 1$ , podemos de la misma manera apartar un factor de coseno y emplear $c o s 2 x = 1 - s e n 2 x$ para poder expresar los factores restantes en términos del $s e n x$ :

al hacer $u = s e n x$ y $d u = c o s x d x$ tendríamos

Cuando m y n son pares

Cuando dichas potencias son pares a la vez $n = 2 k$ y $m = 2 p$ , podemos aplicar las identidades de la mitad de ángulo $sen^{2}x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}cos2x \;Y\;\;$ $cos^{2}x =\frac{1}{2} + \frac{1}{2}cos2x$ algunas veces nos sera útil utilizar la identidad $senx\;cosx =\frac{1}{2}sen2x$

seria igual a:

Ejemplo #1

Determine

$\int \sin^5x \; \cos^2x dx.$

Solución Lo primero que tenemos que ver es que la potencia impar la tiene la función seno, esto nos hace notar que estamos en el primer caso que describimos arriba, entonces aplicamos el algoritmo,

$\sin^5x \; \cos^2 x=(\sin^2x)^2 \; \cos^2x \; \sin x= (1-\cos^2x)^2 \; \cos^2x\;\sin x$

Sustituyendo $u=cos\,x$ , tenemos $du=-sen\,x dx$ luego

$\int sen^5x\;cox^2x dx= \int sen^4 x \;cos^2x sen x\;dx$

$=\int (1-cos^2 x )^2\;cos^2x \;senx\; dx$

$=\int (1-u^2)^2\;u^2\;(-du)= -\int (u^2-2u^4+u^6)du$

$=-(\frac{u^3}{3})-\frac{2u^5}{5}+\frac{u^7}{7}+C$

$=-\frac{1}{3}cos^3x+\frac{2}{5}cos^5x-\frac{1}{7}cos^7x+C$

Integrales que contiene potencias de tangentes y secantes $\int sec^{n}x*tan^{m}xdx$

Se puede usar una estrategia similar a la anterior.

Puesto que:

$(\frac{d}{dx})tanx = sec^2x$ , se puede separar un factor

s e c 2 x

y convertir la potencia restante (par) de la secante en una expresión relacionada con la tangente por medio de la identidad

s e c 2 x = 1 + t a n 2 x

O bien, puesto que:

$(\frac{d}{dx})secx = secx tanx$ , se puede separar un factor

s e c x t a n x

y convertir la potencia restante (par) de tangente a secante.

Tendremos 5 casos

1. Cuando n es par

$n = 2 k$ separar un factor de $s e c 2 x$ y utilice $s e c 2 x = 1 + t a n 2 x$ para lograr expresar los factores restantes en términos de $t a n x$ :

de esta manera podemos hacer $u = t a n x$ y $d u = s e c 2 x d x$ y el integral quedaría así:

2. Cuando m es impar

$m = 2 k + 1$ apartar un factor de $s e c x t a n x$ y emplear $t a n 2 x = s e c 2 x - 1$ para poder expresar los factores que restan en términos de $s e c x$ :

de esta manera podemos hacer $u = s e c x$ y $du= secx\;tanx\;dx$ y nos queda

3. La tangente tiene potencia par $\int tan^{2k}xdx$

4. La Secante tiene potencia impar $\int sec^{2k+1}xdx$

Al encontrarnos con este caso debemos integrar por partes .

5. cuando no cabe en 1, 2, 3, 4

Al no encontrar la forma de ninguno de los pasos anteriores deberemos trasladarlo a $s e n x$ y $c o s x$ recordando que:

Para otros casos, las directrices no son tan claras. Podría ser necesario usar identidades, integración por partes y, ocacionalmente, un poco de inventiva.

A veces será necesario poder integrar $t a n x$ por medio de la fórmula establecida:

$\int \tan x dx = \ln |\sec x| + C$

Se necesitará también la integral indefinida de la secante:

$\int \sec x dx = \ln |\sec x + \tan x| + C$

Esta última se podría comprobar mediante la derivación de lado derecho, o como sigue:

Primero se mutiplican numerador y denominador por

s e c x + t a n x

$\int \sec x dx = \int \sec x \frac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}dx$

$= \int \frac{\sec^2x + \sec x \tan x}{\sec x + \tan x}dx$

Si se sustituye

u = sec x + tan x

, después

d u = (sec x tan x + sec 2 x) d x

, también, la integral se convierte en:

$\int (\frac{1}{u})du = ln |u| + C$

Así, se tiene:

$\int secx dx = ln |secx + tanx| + C$

NOTA Para integrales que contienen cosecantes y cotangentes, la estrategia es análoga a la del par secantes-tangentes. Recordar la identidad: $c s c 2 x = 1 + c o t 2 x$

Reducción a funciones racionales

Si el integrando puede expresar como una función racional de funciones trigonométicas:

(*) $\int R(\sin(x),\cos(x))\ dx, \qquad R(x,y)=\frac{P(x,y)}{Q(x,y)},\ P,Q\in \R[x,y]$

Entonces el cambio:

$t:=\tan\left(\frac{x}{2}\right) \Rightarrow \sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}, \cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

permite reescribir la integral (*) como:

$2\int R\left(\frac{2t}{1+t^2}, \frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\ \frac{dt}{1+t^2}$

Que resulta ser una función racional, y por tanto, de integración mecánica.

Integrales de funciones racionales

Dada una función racional expresable como el cociente de dos polinomios:

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \qquad P(x),Q(x)\in \R[x]$

Si el denominador es un polinómico mónico $\scriptstyle Q(x)$ con k raíces diferentes, entonces admitirá la siguiente factorización en términos de polinomio irreducibles:

$\begin{cases} Q(x) = (x-r_1)^{m_1} (x-r_2)^{m_2} \dots (x-r_k)^{m_k} (x^2+s_1x+t_1)^{n_1} \dots (x^2+s_lx+t_l)^{n_l}\\ k,l,m_i,n_j\in \mathbb{N},\ r_p,s_p,t_p \in \R \end{cases}$

Si $\scriptstyle \mbox{gr}(P) < \mbox{gr}(Q)$ entonces la función racional puede escribirse como combinación lineal de fracciones racionales de las formas:

$\begin{matrix} f_1(x) = \cfrac{1}{(x-r_i)} & f_2(x)= \cfrac{1}{(x-r_i)^{u}} \\ f_3(x) = \cfrac{1}{x^2+a^2} & f_4(x) = \cfrac{1}{(x^2+a^2)^{v}} \\ f_5(x) = \cfrac{x}{x^2+a^2} & f_6(x) = \cfrac{x}{(x^2+a^2)^{w}} \end{matrix}$

Por lo que la integral de la función $\scriptstyle f(x)$ es una combinación lineal de funciones de la forma:

$\begin{matrix} F_1(x) = \ln(x-r_i) & F_2(x)= \cfrac{1-u}{(x-r_i)^{u-1}} \\ F_3(x) = \cfrac{1}{a}\arctan \cfrac{x}{a} & F_4(x) = \cfrac{1}{2a^2}\left( \cfrac{x}{(v-1)(x^2+a^2)^{v-1}} + \cfrac{2v-3}{v-1} \int \cfrac{dx}{(x^2+a^2)^{v-1}} \right) \\ F_5(x) = \cfrac{1}{2}\ln(x^2+a^2) & F_6(x) = \cfrac{-1}{2(w-1)(x^2+a^2)^{w-1}} \end{matrix}$

Obsérvese que lo anterior implica que las funciones racionales constituyen un cuerpo algebraico que es cerrado bajo la derivación, pero no bajo la intergración.

Integración numérica

Artículo principal: Integración numérica

La integración numérica comprende una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida. A efectos prácticos se usa cuando no se conoce un método analítico de integración o la función primitiva resulta tan complicada que para una aplicación práctica resulta más útil buscar directamente su valor numérico. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integral múltiple) también se utiliza.

Referencias

Notas

↑ Para cada función f(x) existe una infinidad de funciones que tienen a f(x) por derivada, y por tanto hay una infinidad de soluciones a la integral ∫f(x) dx. Todas estas soluciones difieren por una constante. Por ejemplo: x²+5, x²-20, x²+ 13.41 son tres soluciones para ∫ 2x dx-.
De este modo, si F(x) es una antiderivada de f(x), cualquier función de la forma F(x)+C también lo es. Esto se representa como ∫ f(x)dx = F(x)+C pero por simplicidad de la presentación se omite la constante arbitraria C en cada uno de los ejemplos.

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Tendremos 3 casos

Cuando n es impar

Cuando m es impar

Cuando m y n son pares

Ejemplo #1

Integrales que contiene potencias de tangentes y secantes $\int sec^{n}x*tan^{m}xdx$

Tendremos 5 casos

1. Cuando n es par

2. Cuando m es impar

3. La tangente tiene potencia par $\int tan^{2k}xdx$

4. La Secante tiene potencia impar $\int sec^{2k+1}xdx$

5. cuando no cabe en 1, 2, 3, 4

Reducción a funciones racionales

Integrales de funciones racionales

Integración numérica

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