Modelo de Ising

Modelo de Ising: El modelo de Ising es un modelo físico propuesto para estudiar el comportamiento de materiales ferromagnéticos. Se trata de un modelo paradigmático de la Mecánica Estadística, en parte porque fue uno de los primeros en aparecer, pero sobre todo porque es de los pocos modelos útiles (no sólo pedagógicamente) que tiene solución analítica exacta (esto es, sin cálculos aproximados). Esto lo hace muy útil para ensayar nuevos tipos de aproximaciones y luego comparar con el resultado real.

Fue propuesto por Ernst Ising, quien intentaba demostrar que el sistema presentaba una transición de fase. Demostró que en una dimensión no existía tal transición, cosa que le provocó una profunda desmoralización e hizo que renunciara a la física estadística. A esta primera aproximación le siguió la del modelo de Ising en dos dimensiones, resuelta por Lars Onsager. La solución de Onsager al modelo de Ising en dos dimensiones sin campo demostró que la física estadística era capaz de describir transiciones de fase (pues como veremos, éste modelo presenta una) lo que terminó de consolidar definitivamente la mecánica estadística.

Contenido

1 Descripción matemática del modelo

1.1 Descripción cualitativa

1.2 El Hamiltoniano del modelo

1.3 La función de partición

2 La física del modelo

2.1 La magnetización

2.2 La energía NO lo es todo

2.3 Energía vs. Entropía

3 Solución al modelo de Ising

4 Interpretación de los resultados: la transición de fase

5 Variantes al modelo de Ising

5.1 Modelo de Ising en 1D

5.2 Modelo en 3 o más dimensiones

5.3 Modelo de Ising en otro tipo de redes

5.4 Modelo de Ising con campo

6 Referencias

7 Véase también

Descripción matemática del modelo

Este apartado se limitará al modelo de Ising más conocido y simple, que además posee solución exacta. Luego comentaremos algunas variantes.

Descripción cualitativa

Supongamos $N$ partículas colocadas en una matriz cuadrada (algo así las plantas en una parcela de vid). Cada partícula puede apuntar sólo en dos sentidos, arriba o abajo. Cada una de esas orientaciones se llaman espín de la partícula. El sentido del espín queda determinado mediante la interacción de la partícula con sus vecinas y por fluctuaciones térmicas.

El Hamiltoniano del modelo

La energía del sistema es

$H\,=\,\sum_{<i,j>}-J\sigma_i\sigma_j$

donde: $H$ es el hamiltoniano del sistema

∑

i,j

denota una suma sobre partículas vecinas entre sí

$σ i$ es el espín de la partícula i-ésima, que puede tomar sólo dos valores, +1 y -1

$J$ es el factor de escala entre interacción entre espines y energía. Es un parámetro de la teoría.

Por ejemplo, supongamos que tenemos todos los espines apuntando hacia arriba, esto es $σ i = 1$ siempre. En este caso, la energía total es $- J$ veces el número diferentes parejas de próximos vecinos, que es $2 N$ (se podría pensar que cada espín tiene cuatro espines, pero no debemos contarlos dos veces por tanto tenemos que dividir por dos). Por tanto la energía del estado fundamental es $H 0 = - 2 J N$ . El primer estado excitado es que un sólo espín apunte hacia abajo, con energía $H 1 = - 2 J N + 8 J$ y así sucesivamente.

La función de partición

El problema se resuelve simplemente calculando la función de partición (véase Colectivo Canónico):

$Z=\sum_{\{\sigma_i\}}\prod_{<i,j>} e^{-J\sigma_i\sigma_j/k_BT}$

donde $\sum_{\{\sigma_i\}}$ se refiere a suma sobre todas las configuraciones posibles de los $N$ espines (llamados micro estados).

La física del modelo

En el modelo de Ising hay en realidad mucha física. Pasemos a revisarla un poco antes de plantear la solución completa.

La magnetización

Lo que físicamente queremos obtener del modelo es su magnetización total. Como cada partícula tiene un espín, cuando se orienten todas hacia arriba, por ejemplo, tendremos una magnetización total $M = N$ (ya que el espín de cada partícula es 1). Podría ocurrir, por el contrario, que haya el mismo número de partículas hacia arriba que hacia abajo, con un resultado total entonces de magnetización nula ( $M = 0$ ). La pregunta que queremos responder es en realidad ¿Cuánto vale la magnetización total en función de la temperatura?.

La energía NO lo es todo

Pensemos en el tipo de interacción que hemos introducido. Si dos espines vecinos apuntan en la misma dirección su energía mutua es $- J$ , lo que reduce la energía del sistema. Por tanto, la interacción que hemos puesto tiende a hacer que los espines apunten en la misma dirección, ya que disminuye la energía total. Esto lo que hace es favorecer la aparición de la magnetización total. Podríamos pensar que hemos resuelto ya el problema: la magnetización tiene que valer siempre $M = N$ para minimizar la energía y ya está.

Sin embargo, tenemos que recordar que el problema está planteado en el Colectivo Canónico, esto es, a temperatura y volumen constante. En estas condiciones, la termodinámica nos dice que la situación de equilibrio no vendrá dada por un mínimo de energía, sino por un mínimo de energía libre de Helmholtz, definida mediante

$F = U - T S$

donde $U$ es la energía interna y $T S$ es el producto entre la temperatura y la entropía.

Energía vs. Entropía

El modelo de Ising es una pugna entre la energía y como está distribuida en los grados de libertad del sistema (ver entropía). Conviene en este punto recordar que la entropía es una medida de cuan esparcida a través de diferentes grados de libertad se encuentra la energía. (ver Mecánica Estadística).

De esta manera, el estado fundamental minimiza la energía $U$ , pero es un estado muy ordenado, con todos los espines apareados. Este es por tanto un estado de muy baja entropía. Si la temperatura es baja, el producto $T S$ lo es, y a la energía libre contribuye sobre todo la energía: el sistema se magnetizará espontáneamente a baja temperatura.

Sin embargo cuando sube la temperatura la entropía comienza a tomar importancia en la cantidad $U - T S$ y minimizar $F$ pasa por maximizar la entropía. Justamente el estado más desordenado posible (de mayor entropía), el que tendrá una energía de Helmholtz menor ( $F$ ), es aquel con la mitad de espines hacia arriba y la mitad hacia abajo. Este estado es favorecido a alta temperatura: el sistema no se magnetiza a alta temperatura.

La solución exacta nos dirá exactamente a qué temperatura empieza deja de mandar la energía y lo hace la entropía. Esta es la temperatura crítica, o simplemente $T c$

Solución al modelo de Ising

La solución al modelo de Ising es un problema abierto importante de la física, como lo es hoy las teorías de cuerdas. Existe solución para variantes de dos dimensiones, pero se sabe que un modelo de tres dimensiones no tiene solución; lo que constituye un problema operativo. El modelo de dos dimensiones fue resuelto de forma brillante por Onsager,^[1] quien recibió más tarde el premio Nobel por esta y otras aportaciones a la física estadística.

Después de Onsager se han obtenido diferentes derivaciones de la función de partición. No mostraremos aquí ninguna, pues supera con mucho las pretensiones divulgativas de este artículo, aunque muchos físicos creen que nadie debería obtener la carrera de física sin conocer los pormenores de la solución.

La energía libre del modelo de Ising en dos dimensiones sin campo externo es:

$F=-Nk_BT\log{\frac{2}{1+x^2}}-\frac{k_BTN}{2(2\pi)^2}\int_0^{2\pi}\,d\theta_1 \int_0^{2\pi}\,d\theta_2\log\left[(1+x^2)^2-2x(1-x^2)\{\cos \theta_1+\cos\theta_2\}\right]$

donde $x=\tanh\left(\frac{J}{k_BT}\right)$

Interpretación de los resultados: la transición de fase

Una vez conocida la expresión para la energía libre en función de sus variables naturales ya tenemos toda la información termodinámica del sistema.

Una de las cosas más importantes de este modelo es que presenta una transición de fase. Esta es una de las cosas que fueron más controvertidas en el establecimiento de la mecánica estadística como teoría física a tener en cuenta. La función de partición tal como se plantea es suma de funciones analíticas, que por tanto es analítica. Pero una transición de fase es una cosa intrínsecamente no analítica. Por tanto se creía que nunca serviría para estudiar cambios de fase (precisamente por eso se desilusionó Ising).

Sin embargo la solución expuesta tiene implícito el paso $N\to\infty$ y en ese caso, una suma infinita de funciones analíticas puede dar una función no analítica que represente una transición. Si nos fijamos en la energía libre de arriba, cuando el argumento del logaritmo tienda a cero éste diverge y tenemos un punto singular. Se comprueba que éste es justamente

$x_c=\sqrt{2}-1 \Rightarrow T_c=\frac{2J}{k_B\log(\sqrt{2}+1)}$

Si $T > T c$ la magnetización es nula, si $T < T c$ habrá magnetización espontánea (hay una expresión concreta para la magnetización, pero no necesaria para entender el fenómeno). Este cambio en el comportamiento del material es fruto de una transición de fase de segundo orden en el que el material comienza a ser ferromagnético.

Variantes al modelo de Ising

Se han desarrollado multitud de variantes del modelo, la mayoría no poseen todavía solución analítica exacta, si bien es cierto que se saben muchas propiedades de éstos debido a técnicas computacionales.

Modelo de Ising en 1D

En este caso en lugar de una matriz de espines tenemos una cadena lineal. Éste es el modelo original propuesto por Ising. Se demuestra de manera más bien sencilla que este modelo no puede presentar transición de fase.

Demostración

En presencia de campo B la función de partición es:
$Q_I(B,T)=\sum_{s_1}....\sum_{s_n} e^ {{\beta \sum_{k=1}^N (J \sigma_k\sigma_{k+1}+B\frac{\sigma_k+\sigma_{k+1}}{2}})}$

Que se puede reescribir:

$Q_I(B,T)=\sum_{\sigma_1}....\sum_{\sigma_n} \prod_{k=1}^N e^ {{\beta(J \sigma_k\sigma_{k+1}+B\frac{\sigma_k+\sigma_{k+1}}{2}})}$

Definiendo:

$P_{\sigma_k}^{\sigma_{k+1}}=e^{{\beta(J \sigma_k\sigma_{k+1}+B\frac{\sigma_k+\sigma_{k+1}}{2}})}$

$P=\left(\begin{array}{lcccl} e^{\beta(J+B)} &&e^{-\beta J} \\ e^{-\beta J}&& e^{\beta(J-B)} \end{array}\right)$

La función de partición será (suponiendo condición cíclica):

$Q_I(B,T)=\sum_{s_1}....\sum_{s_n} P_{\sigma_1}^{\sigma_{2}}P_{\sigma_2}^{\sigma_{3}}...P_{\sigma_{N-1}}^{\sigma_{N}}P_{\sigma_N}^{\sigma_{N+1}}\delta_{\sigma_{N+1}}^{\sigma_1}$

La anterior expresión es la de la traza de la potencia n-ésima de la matriz P:

$Q I (B, T) = t r (P n)$

Expresado en autovalores:

$tr(P^N)=\lambda_+^N+\lambda_-^N$

Diagonalizando:

$\lambda_{\pm}= e^{\beta J}[cosh(\beta B)\pm \sqrt{cosh^2(\beta B)-2e^{-2\beta J}sinh(2\beta J)}]$

En el límite $(\frac{\lambda_-}{\lambda_+})^N\rightarrow 0$ se tiene:

$F(B,T)=-k_BTlnQ(B,T)=-k_BTln(\lambda_+^N+\lambda_-^N)\approx -k_BTN ln\lambda_+$

La magnetización viene dada por:

$M_{esp}=-lim_{B\rightarrow0}\frac{\partial F}{\partial B}=lim_{B\rightarrow0} N\frac{sinh(\beta B)}{\sqrt{cosh^2(\beta B)-2e^{-2\beta J}sinh(2\beta J)}}=0$

De modo que a B=0 no existe magnetización.

Modelo en 3 o más dimensiones

En lugar de una matriz plana, podemos imaginar los espines colocados en arreglo esquiespaciados en tres dimensiones. Parece extraño, pero este modelo no tiene a día de hoy solución analítica exacta. De igual manera se pueden plantear problemas n-dimensionales como idea matemática de mayor o menor interés.

Modelo de Ising en otro tipo de redes

Se pueden colocar los espines en redes triangulares, de panal de abeja,....algunos de éstos sí poseen solución analítica

Modelo de Ising con campo

Esta es la variación más típica. Consiste en añadir a la energía un término que dé cuenta de un campo constante en una dirección de la forma:

$H\,=\,\sum_{<i,j>}-J\sigma_i\sigma_j+\sum_i h\sigma_i$

Esto hace que no aparezca transición de fase y hace el problema irresoluble analíticamente.

Referencias

↑ Onsager, Lars. Crystal Statistics. A Two-Dimensional Model with an Order-Disorder Transition. Phys. Rev. 65, 117–149 (1944).

K. Huang, Statistical mechanics

Véase también

Modelo físico

Mecánica Estadística

Colectivo Canónico

Termodinámica

Álgebra de Virasoro

Categoría:
Mecánica estadística

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