Función analítica

Función analítica

En matemáticas una función analítica es aquella que puede expresarse como una serie de potencias convergente. Una función analítica es suave: tiene infinitas derivadas. La noción de función analítica puede definirse para funciones reales o complejas, aunque ambos conjuntos tienen propiedades distintas. Las funciones complejas derivables en un abierto siempre son analíticas, y se denominan funciones holomorfas. Sin embargo, una función real infinitamente derivable no es necesariamente analítica.

Contenido

Definición

La definición de función analítica es idéntica para los casos real y complejo:

Una función real (compleja) f es analítica en un punto x0 de su dominio si existe una serie de potencias centrada en x0:

\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\ldots\,,

que converge en un entorno U ⊆ R (U ⊆ C) de x0 y que coincide con la función en dicho entorno:

f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n\text{ , para cada } x\in U

De esta definición se puede demostrar la siguiente caracterización alternativa:

Una función analítica en x0 es infinitamente derivable en un cierto entorno U de dicho punto, en el que además su serie de Taylor:

\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\,,

converge (y coincide con f).

Una función se dice analítica en un conjunto U si es analítica en cada punto de U. El conjunto de todas las funciones analíticas en un cierto abierto U se denota por Cω(U).

Varias variables

La definición de función analítica puede extenderse para funciones (reales o complejas) de varias variables (definidas en Rn o Cn), sin más que considerar series de potencias de varias variables:

\sum_{i_i\ldots i_n=0}^\infty a_{i_1\ldots i_n}\prod_{k=1}^n(x_k-c_k)^{i_k}=a_{0\ldots0}+a_{1\ldots0}(x_1-c_1)+\ldots+a_{0\ldots1}(x_n-c_n)+a_{2\ldots0}(x_1-c_1)^2+a_{11\ldots0}(x_1-c_1)(x_2-c_2)+\ldots

Funciones holomorfas

Artículo principal: Función holomorfa

En el caso de las funciones complejas analíticas, existe un teorema que las caracteriza de manera mucho más sencilla, y que constituye uno de los rasgos fundamentales del análisis complejo:

Una función compleja f : D ⊆ C → C derivable en un abierto U, es analítica en U.

Un teorema similar se aplica en el caso de funciones complejas de varias variables que sean diferenciables:

Una función compleja f : D ⊆ Cn → C diferenciable en un abierto U es analítica en U.

Funciones suaves no analíticas

En variable real pueden encontrarse funciones suaves que no son analíticas. Un ejemplo de ello es la función:

f(x)=\left\{\begin{array}{l} e^{-1/x^2}\text{ , si }x\neq0\\ 0\text{ , si }x=0 \end{array}\right.

Esta función es infinitamente derivable para cualquier x ∈ R, y en particular todas sus derivadas en 0 son nulas: f(n)(0) = 0. Por tanto, su serie de Taylor alrededor de 0 es identicamente nula, y en ningún entorno de dicho punto coinciden la función y la serie de Taylor.

Referencias

  • Krantz, Steven; Parks, Harold (1992) (en inglés). A primer of real analytic functions. Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2768-5.  Capítulo 1.
  • Scheidemann, Volker (2005) (en inglés). Introduction to complex analysis in several variables. Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-7490-X.  Capítulo 1.

Enlaces externos


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