Álgebra de Lie ortogonal generalizada

Álgebra de Lie ortogonal generalizada
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\begin{pmatrix} \mathbf{A} & V \\ -V^t & 0 \end{pmatrix} pertenece a \mathfrak{so}(n+1) si A pertenece a \mathfrak{so}(n) y V es un n-vector (columna).
\begin{pmatrix} \mathbf{A} & V \\ V^t & 0 \end{pmatrix} pertenece a \mathfrak{so}(n, m+1) si A pertenece a \mathfrak{so}(n, m) y V es un (n+m)-vector.(incluyendo m = 0, por supuesto). El álgebra de Lobachevski es \mathfrak{so}(n,1) (no álgebra de Lorentz como es usual en la literatura, una confusión con su papel en el álgebra de Poincaré, aunque la expresión común es álgebra hiperbólica).

Notación Nueva!: \begin{pmatrix}A & V \\ 0 & 0 \end{pmatrix} pertenece a \mathfrak{so}(n, m, 1) si A pertenece a \mathfrak{so}(n, m) y V es un (n+m)-vector. El álgebra euclidiana es \mathfrak{so}(n, 0, 1)!. El álgebra de Poincaré es \mathfrak{so}(n, 1, 1). En general, representa el álgebra de Lie del producto semidirecto de las traslaciones en el espacio Rn+m con SO(n, m) que tiene a \mathfrak{so}(n, m) como su álgebra de Lie.

Notación Nueva: \begin{pmatrix}A & V \\ 0 & 0 \end{pmatrix} pertenece a \mathfrak{so}(n, m, l+1) si A pertenece a \mathfrak{so}(n, m, l) y V es un (n+m+l)-vector.

En particular: \begin{pmatrix}A & V & X\\ 0 & 0 & t \\0 & 0 & 0\end{pmatrix} pertenece a \mathfrak{so}(n, m,2) si A pertenece a \mathfrak{so}(n, m) y V y X son (n+m)-vectores. El álgebra de Galileo es \mathfrak{so}(n,0,2), asociado a un producto semidirecto iterado. (t es un "número", pero importante \mathfrak{g}/[\mathfrak{g},\mathfrak{g}] da t si n>2. así que el tiempo es la parte conmutativa del grupo de Galileo).

Para completar, damos aquí las ecuaciones de estructura. El álgebra de Galileo \mathfrak{g} es expandida por T, Xi, Vi y Aij (tensor antisimétrico) conforme a:

  • [Xi, T] = 0
  • [Xi, Xj] = 0
  • [Aij, T] = 0
  • [Vi, Vj] = 0
  • [Aij, Akl] = δik Ajl - δil Ajk - δjk Ail + δjl Aik
  • [Aij, Xk] = δik Xj - δjk Xi
  • [Aij, Vk] = δik Vj - δjk Vi
  • [Vi, Xj] = 0
  • [Vi,T]=Xi


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